Download miễn phí ET 2060 Biểu diễn tín hiệu và hệ thống LTI trên miền tần số
Bài tập Matlab
1. Viết chương trình Matlab để tính biến đổi Fourier cho một
dãy có chiều dài hữu hạn.
2. Vẽ phổ biên độ và phổ pha của các dãy đã cho trong ví dụ.
3. Dùng hàm freqz và freqs trong Matlab để vẽ đáp ứng tần
số của hệ thống được mô tả bởi phương trình sai phân / vi
phân tuyến tính hệ số hằng.
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí
Tóm tắt nội dung tài liệu:
ET 2060Biểu diễn tín hiệu và hệ thống LTI
trên miền tần số
TS. Đặng Quang Hiếu
Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
Viện Điện tử - Viễn thông
2011-2012
Vai trò của biến đổi Fourier
◮ Quan trọng trong toán học, vật lý và các ngành kỹ thuật đặc
biệt là xử lý tín hiệu.
◮ Khái niệm chuỗi Fourier do Joseph Fourier giới thiệu vào năm
1807, và sau đó được phát triển bởi nhiều nhà khoa học nổi
tiếng khác. Phân loại:
◮ Chuỗi Fourier (FS)
◮ Chuỗi Fourier rời rạc theo thời gian (DTFS)
◮ Biến đổi Fourier (FT)
◮ Biến đổi Fourier rời rạc theo thời gian (DTFT)
◮ Biến đổi Fourier rời rạc (DFT) có thể được thực hiện nhanh
(các thuật toán FFT).
Tín hiệu trên miền thời gian và miền tần số
1
-1
1 2 3 4 5 t
x(t)
1 2 3-1-2-3 f
|X (f )|
Hàm riêng của hệ thống LTI (1)
Xét hệ thống LTI với đầu vào là dãy lũy thừa x [n] = ejωn
y [n] =
∞∑
k=−∞
h[k]ejω(n−k) = ejωnH(ejω)
trong đó,
H(ejω) =
∞∑
k=−∞
h[k]e−jωk
◮ ejωn - hàm riêng (eigenfunction) của hệ thống LTI
◮ H(ejω) - trị riêng (eigenvalue)
Hàm riêng của hệ thống (2)
e jωn H(e
jω)e jωn
h[n]
Nếu biểu diễn đầu vào bất kỳ theo các hàm riêng
x [n] =
∑
k
ake
jωkn
thì
y [n] =
∑
k
akH(e
jωk )ejωkn
◮ Không phải thực hiện phép chập!!!
◮ H(ejω) gọi là đáp ứng tần số của hệ thống
Outline
Chuỗi Fourier cho tín hiệu liên tục
Chuỗi Fourier cho tín hiệu rời rạc
Biến đổi Fourier
Biến đổi Fourier rời rạc theo thời gian
Chuỗi Fourier (FS)
Tín hiệu x(t) tuần hoàn với chu kỳ cơ bản T = 2πΩ0 có thể được
biểu diễn bởi chuỗi Fourier (FS) như sau:
x(t) =
∞∑
k=−∞
cke
jkΩ0t
trong đó
ck =
1
T
∫ T
0
x(t)e−jkΩ0tdt
là các hệ số FS của x(t) (ck , c−k – thành phần hài bậc |k|).
Ví dụ về FS
Hãy tìm khai triển chuỗi Fourier cho các tín hiệu sau với chu kỳ cơ
bản Ω0 = 2π/T .
(a) x(t) = cos(Ω0t)
(b) x(t) =
∑∞
k=−∞ δ(t − kT )
(c) Xét trong một chu kỳ,
x(t) =
{
1, |t| ≤ T0
0, T0 < |t| < T/2
t
x(t)
T0−T0 T
2
−T
2
Khai triển chuỗi Fourier của hàm xung vuông tuần hoàn
0.25
4 8 12 16 20-4-8-12-16-20
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b k
ak
T0
T
= 1
8
8 16-8-16
b
b
b
b
b
b
b
b
b b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b b
b
b
b
b
b
b
b
b
k
ak T0
T
= 1
16
Điều kiện tồn tại FS
Các điều kiện Dirichlet:
1. x(t) bị chặn
2. x(t) có hữu hạn các cực đại và cực tiểu trong một chu kỳ
3. x(t) có hữu hạn các điểm gián đoạn trong một chu kỳ
Tín hiệu có năng lượng hữu hạn trên một chu kỳ:∫
T
|x(t)|2dt <∞
Dạng biểu diễn khác của FS
x(t) =
a0
2
+
∞∑
k=1
ak cos(kΩ0t) + bk sin(kΩ0t)
Quan hệ giữa ak , bk và ck?
Nếu coi ck là một dãy rời rạc:
x(t) =
∞∑
k=−∞
X [k]ejkΩ0t
Tính chất tuyến tính
Nếu
x(t)
FS←−→ ak
y(t)
FS←−→ bk
thì
αx(t) + βy(t)
FS←−→ αak + βbk
Tính chất dịch
Dịch theo thời gian:
x(t − t0) FS←−→ e−jΩ0t0ck
Dịch tần số:
ejk0Ω0tx(t)
FS←−→ ck−k0
Ví dụ: Tìm khai triển cho tín hiệu tuần hoàn với chu kỳ T
x(t) =
{
1, 0 < t ≤ T0
0, T0 < t < T
Đảo trục thời gian
x(−t) FS←−→ c−k
◮ Nếu x(t) chẵn?
◮ Nếu x(t) lẻ?
Tính chất đối xứng
x∗(t) FS←−→ c∗−k
◮ Nếu x(t) thực?
◮ Nếu x(t) ảo?
Quan hệ Parseval
1
T
∫
T
|x(t)|2dt =
∞∑
k=−∞
|ck |2
Ý nghĩa: FS bảo toàn công suất của tín hiệu.
Outline
Chuỗi Fourier cho tín hiệu liên tục
Chuỗi Fourier cho tín hiệu rời rạc
Biến đổi Fourier
Biến đổi Fourier rời rạc theo thời gian
Dãy tuần hoàn và chuỗi Fourier
Dãy x˜ [n] (hay x˜ [n]N) tuần hoàn với chu kỳ N:
x˜ [n] = x˜ [n + rN], ∀n, r ∈ Z
Khai triển chuỗi Fourier cho dãy x˜ [n]:
x˜ [n] =
∑
k
cke
j 2pi
N
kn
Đặc điểm của các thành phần tần số ej
2pi
N
kn, ∀k ∈ Z?
ej
2pi
N
kn = ej
2pi
N
(k+rN)n, ∀r ∈ Z
x˜ [n] =
N−1∑
k=0
X [k]e j
2pi
N
kn, X [k] =
∑
r
ck+rN
Tính X [k ]?
(i) Nhân cả hai vế với e−j
2pi
N
mn, tính tổng với n = 0, (N − 1)
N−1∑
n=0
x˜ [n]e−j
2pi
N
mn =
N−1∑
n=0
N−1∑
k=0
X [k]ej
2pi
N
(k−m)n
(ii) Đổi thứ tự lấy tổng ở vế phải
N−1∑
n=0
x˜ [n]e−j
2pi
N
mn =
N−1∑
k=0
X [k]
N−1∑
n=0
ej
2pi
N
(k−m)n
(iii) Tính trực giao:
N−1∑
n=0
ej
2pi
N
(k−m)n =
{
N, khi k −m = rN
0, khi k −m 6= rN
=⇒
N−1∑
n=0
x˜ [n]e−j
2pi
N
mn = N · X [m]
Khái niệm chuỗi Fourier rời rạc
X [k] =
1
N
N−1∑
n=0
x˜ [n]e−j
2pi
N
kn
X [k] tuần hoàn với chu kỳ N. Ký hiệu: X˜ [k] hay X˜ [k]N .
DTFS (chuỗi Fourier rời rạc theo thời gian) cho dãy tuần hoàn:
x˜ [n]
DTFS←−−−→ X˜ [k]
X˜ [k] =
1
N
N−1∑
n=0
x˜ [n]e−j
2pi
N
kn, x˜ [n] =
N−1∑
k=0
X˜ [k]e j
2pi
N
kn
◮ Nếu cần nhấn mạnh "hệ số", có thể thay X˜ [k] bằng ký hiệu
c˜k .
◮ WN = e
−j 2pi
N → công thức?
◮ Khái niệm biên độ và pha: |X˜ [k]|, arg{X˜ [k]}.
Ví dụ về DTFS
(1) Tìm khai triển Fourier của dãy
x˜ [n] =
∞∑
r=−∞
δ(n − rN) =
{
1, n = rN, ∀r ∈ Z
0, n 6= rN
(2) Cho x˜ [n] là dãy tuần hoàn với chu kỳ N
x˜ [n] =
{
1, ℓN ≤ n ≤ ℓN + M − 1, ∀n ∈ Z,M < N
0, n còn lại
Hãy tìm X˜ [k], |X˜ [k]|, arg{X˜ [k]}.
(3) Dãy x˜ [n] tuần hoàn với chu kỳ N cũng có thể coi là một dãy
tuần hoàn có chu kỳ 2N. Nếu X˜1[k]N = DTFS{x˜ [n]N} và
X˜2[k]2N = DTFS{x˜ [n]2N}. Hãy tính X˜2[k]2N theo X˜1[k]N .
DTFS của dãy xung chữ nhật tuần hoàn N = 100,M = 10
−100 −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 100
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
k
|X[
k]|
−100 −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 100
−3
−2
−1
0
1
2
3
k
a
rg
{X
[k]
}
Các tính chất của chuỗi Fourier rời rạc
(1) Tuyến tính:
a1x˜1[n]N + a2x˜2[n]N
DTFS←−−−→ a1X˜1[k]N + a2X˜2[k]N
(2) Dịch thời gian
x˜ [n − n0] DTFS←−−−→ e−j
2pi
N
kn0 X˜ [k] := W kn0N X˜ [k]
(3) Dịch tần số
ej
2pi
N
k0nx˜ [n]
DTFS←−−−→ X˜ [k − k0]
Tính chất đối ngẫu
Nếu
x˜ [n]
DTFS←−−−→ X˜ [k]
thì
X˜ [n]
DTFS←−−−→ 1
N
x˜ [−k]
Ví dụ: Cho
X˜ [k] =
∞∑
r=−∞
δ(k − rN)
Hãy tìm x˜ [n]?
Các tính chất đối xứng
(a) x˜∗[n] DTFS←−−−→ X˜ ∗[−k]
(b) x˜ [−n] DTFS←−−−→ X˜ ∗[k]
(c) Re[x˜ [n]] DTFS←−−−→ 12 [X˜ [k] + X˜ ∗[−k]]
(d) 12 [x˜ [n] + x˜
∗[−n]] DTFS←−−−→ Re[X˜ [k]]
(e) Khi x˜ [n] ∈ R
◮ X˜ [k ] = X˜ ∗[−k ]
◮ Re[X˜ [k ]] = Re[X˜ [−k ]]
◮ Im[X˜ [k ]] = −Im[X˜ [−k ]]
◮ |X˜ [k ]| = |X˜ [−k ]|
◮ arg{X˜ [k ]} = − arg{X˜ [−k ]}
Chập tuần hoàn
Cho
x˜1[n]
DTFS←−−−→ X˜1[k]
x˜2[n]
DTFS←−−−→ X˜2[k]
Nếu X˜3[k] = X˜1[k]X˜2[k] thì
x˜3[n] =?
⇒ Khái niệm chập tuần hoàn:
x˜3[n]N =
1
N
x˜1[n](∗˜)N x˜2[n] = 1
N
N−1∑
m=0
x˜1[m]x˜2[n −m]
Chứng minh?
Cách tính chập tuần hoàn
Tìm x˜3(n0) với n0 ∈ [0, (N − 1)]
(1) Lấy đối xứng qua trục tung x˜2[m]→ x˜2[−m]
(2) Dịch theo trục hoành n0 mẫu
(3) Nhân hai dãy v˜n0 [m] = x˜1[m]x˜2[n0−m] trong đoạn [0, (N − 1)]
(4) Tính tổng các phần tử của dãy v˜n0 [m] trong đoạn [0, (N − 1)]
→ x˜3[n0]
(5) Dãy tuần hoàn chu kỳ N: x˜3[n0] = x˜3[n0 + rN], ∀r ∈ Z.
Các tính chất khác
◮ Tích của hai dãy?
◮ Tương quan tuần hoàn của hai dãy?
Tự đọc!
Bài tập
Cho tín hiệu liên tục (tuần hoàn) xc(t) có khai triển Fourier như
sau:
xc(t) =
9∑
k=−9
ake
j2πkt/10−3
trong đó các hệ số ak = 0, ∀|k| > 9. Tín hiệu này được lấy mẫu
với chu kỳ T = 1610
−3
(a) Dãy x [n] có tuần hoàn không, nếu có thì chu kỳ bao nhiêu?
(b) Hãy tính X˜ [k] theo cá...