kebactinh_vtvcgame
New Member
Download Tìm lời giải các bài toán bất đẳng thức, giá trị lớn nhất - nhỏ nhất nhờ đoán dấu bằng miễn phí
I.Phân tích –tìm lời giải:
1.Dự đoán dấu ‘=’ của BĐT hay các điểm mà tại đó đạt GTLN, GTNN.
2.Từdự đoán dấu “=”, kết hợp với các BĐT quen thuộc dự đoán phép đánh giá. Mỗi phép
đánh giá phải đảm bảo nguyên tắc “dấu ‘=’ xảy ra ởmỗi bước này phải giống nhưdấu ‘=’
dự đoán ban đầu”.
Đểlàm rõ, tôi xin phân tích cách suy nghĩtìm lời giải trong một vài ví dụsau:
Để tải bản DOC Đầy Đủ thì Trả lời bài viết này, mình sẽ gửi Link download cho
Tóm tắt nội dung:
www.vnmath.comLÊ ANH DŨNG –GV THPT CHUYÊN HUỲNH MẪN ĐẠT –RẠCH GIÁ KIÊN GIANG 1
TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC, GTLN – GTNN NHỜ DỰ ĐOÁN
DẤU BẰNG
Lê Anh Dũng
(G/v THPT chuyên Huỳnh Mẫn Đạt – Kiên Giang)
Các em h/s và các bạn thân mến, trong các đề thi TSĐH thường có một câu V là câu
khó (để chọn các cao thủ võ lâm) câu này những năm gần đây thường cho dưới dạng các
bài toán BĐT. Và thường thì các sĩ tử không biết bắt đầu từ đâu để giải quyết nó. Bài viết
này tui sẽ truyền đạt cho các bạn một “tuyệt chiêu” võ công độc đáo (chỉ cần một chiêu thôi).
Sau khi học được “tuyệt chiêu” này các bạn sẽ thấy các vấn đề trở nên rất đơn giản.
Để lĩnh hội được “tuyệt chiêu” mà tui tổng hợp từ vô số các chiêu thức của các môn
phái khác thì trước tiên các bạn phải nắm được một số “chiêu thức” bản đã.
1. Bất Đẳng thức Côsi (các chiêu này xem trong “Đại số 10”)
a. Bất Đẳng thức Cauchy cho 2 số :
Cho 2 số a, b 0 .Khi đó: a + b 2 ab . Dấu ‘=’ xảy ra khi a = b.
b. Bất Đẳng thức Cauchy cho 3 số :
Cho 3 số a, b, c 0 . Khi đó ta có: a + b + c 3 3 abc . Dấu ‘=’ xảy ra khi a = b = c.
Nhận dạng:
+ Tìm nhỏ nhất của tổng khi biết tích.
+ Tìm lớn nhất của tích khi biết tổng, tổng bình phương.
+ Chứng minh tổng lớn hơn tích, tích chia tổng (tổng bình phương, . . .)
+ Dùng nhập các tổng, tổng nghịch đảo, . . . thành một.
Các BĐT cơ bản liên quan hay dùng :
1. a2 + b2 2ab.
2. a2 + b2 + c2 ab + ac + bc .Dấu ‘=’ khi a = b = c.
3. a2 + b2 + c2
3
1 (a + b + c)2 ab + ac + bc . Dấu ‘=’ xảy ra khi a = b = c.
4. Với a, b > 0. Ta có : (a + b)(
ba
11 ) 4 . Dấu ‘=’ xảy ra khi a = b (hay :
ba
11
ba
4 )
5. Với a, b, c > 0. Ta có : (a + b + c)(
cba
111 ) 9 . Dấu ‘=’ xảy ra khi a = b = c (hay :
cbacba
9111 ) .
Ý nghĩa của các bất đẳng thức 4, 5 là cho phép ta nhập các phân số thành một do đó rất
thuận lợi cho việc xét hàm với một ẩn.
2. Bất Đẳng Thức Bunhiacopxki –BĐT Trị Tuyệt Đối :
Trong chương trình thi Đại Học chúng ta chỉ được áp dụng BĐT Cauchy cho 2 và 3 số không
âm và bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 cặp số.
2211 b.ab.a )bb)(aa( 22212221
Dấu ‘=’ xảy ra khi
2
2
1
1
b
a
b
a (Nếu bỏ dấu thì cần thêm 0 nữa)
b. Nhận dạng:
+ Tổng các cặp số có tích không đổi.
www.vnmath.com
LÊ ANH DŨNG –GV THPT CHUYÊN HUỲNH MẪN ĐẠT –RẠCH GIÁ KIÊN GIANG 2
+ Tổng bình phương bằng một số không đổi.
c. Ứng dụng
+ Nhập các tổng bình phương thành một.
3. Khảo sát hàm số
Trên đây là các vấn đề mà Đại Hội Anh Hùng thường ra để chọn cao thủ. Hi vọng các sĩ tử nắm
được các chiêu thức cơ bản này để lĩnh hội cho tốt.
Khi tìm GTNN, GTLN các em thường mắc phải sai lầm phổ biến trong việc tìm giá trị
của biến tại các điểm đạt max, min đó là : thực hiện liên tiếp nhiều bước đánh giá nhưng dấu
‘=’ tại mỗi bước là không như nhau do đó không có dấu ‘=’ để xảy ra đẳng thức cuối. Xét
bài toán:
Tìm GTLN của f(x) = sin5x + 3 cosx, có bạn đã giải như sau:
Chỉ cần xét trong x[0 ;
2
].Ta có:sin5x sinx suy ra : f(x) sinx + 3 cosx
Mặt khác : sinx + 3 cosx = 2sin(x +
3
) 2 .
Vậy f(x)max = 2.
Nhận xét : bài giải trên sai (bài giải đúng xem ở dưới) do đã vướng sai lầm trong tìm dấu
‘=’. f(x) không thể đạt giá trị bằng 2 được vì để tới BĐT cuối chúng ta đã thực hiện 2 phép
biến đổi :
+ lần 1: sin5x sinx ; dấu ‘=’ khi x = 0, /2.
+ lần 2: 2sin(x + 6/ ) 2 ; dấu ‘=’ khi x= 6/
Như vậy, khi thực hiện mỗi bước biến đổi ta thường tự đặt ra câu hỏi:
+ Khi thực hiện các bước biến đổi như vậy thì liệu dấu ‘=’ có đạt được ở bước cuối
cùng không ?
+ Đánh giá như thế nào để có thể đưa về vế còn lại được hay không ?
Mặc dù bài toán có thể thực hiện liên tiếp nhiều bước biến đổi nhưng để dấu ‘=’ đạt được
thì ở mỗi bước dấu ‘=’ cũng phải giống như dấu ‘=’ ở đẳng thức cuối cùng. Vậy thì tại sao
ta không đoán trước dấu ‘=’ của BĐT (hay giá trị mà tại đó biểu thức đạt max, min)
rồi từ đó mới định hướng phương pháp đánh giá ?. Đây là một cách phân tích tìm lời giải
mà tui muốn giới thiệu. Để có hướng suy nghĩ đúng chúng ta thực hiện các bước phân tích
sau:
I.Phân tích –tìm lời giải:
1.đoán dấu ‘=’ của BĐT hay các điểm mà tại đó đạt GTLN, GTNN.
2.Từ đoán dấu “=”, kết hợp với các BĐT quen thuộc đoán phép đánh giá. Mỗi phép
đánh giá phải đảm bảo nguyên tắc “dấu ‘=’ xảy ra ở mỗi bước này phải giống như dấu ‘=’
đoán ban đầu”.
Để làm rõ, tui xin phân tích cách suy nghĩ tìm lời giải trong một vài ví dụ sau:
II. Các thí dụ:
Thí dụ 1: (ĐH 2003-A)
Cho x, y, z > 0 thỏa mãn : x + y + z 1. Cmr:
P = 222222
111
z
z
y
y
x
x 82
www.vnmath.com
LÊ ANH DŨNG –GV THPT CHUYÊN HUỲNH MẪN ĐẠT –RẠCH GIÁ KIÊN GIANG 3
Phân tích:
B1. đoán dấu ‘=’: x = y = z = 1/3
B2. Để làm mất dấu căn, ta có thể suy nghĩ theo 2 hướng: mất dấu căn ở từng số hạng
hay nhập dấu căn ở mỗi số hạng thành một.
1. Nếu suy nghĩ theo hướng mất dấu căn ở từng số hạng ta dùng BĐT Bunhiacopxki:
+ 22
1
x
x ở dạng tổng hai bình phương BĐT BCS ta cần tìm: )??)(
x
x( 2
2 1 . . Dấu
‘=’ của đoán ban đầu là x =
3
1 và dấu ‘=’ của đánh giá BĐT BCS là
?
?
x
x/ 1 .Như vậy 2 số
còn lại cần điền sẽ có tỉ lệ 3 :
3
1 = 9 : 1. Ta được :
x
x))(
x
x( 9911 222
2 . Tương tự với y, z
và cộng lại, ta được: P.
zyx
99982 + x+ y+ z.
+ Vế phải là tổng các phân sốquen (BĐT Côsi )
zyxzyx
9111 . (Dấu ‘=’ vẫn đảm bảo) 82 P
zyx
zyx
81
t
t)t(f 81
(với t = x + y + x (0 < t 1 ). Khảo sát hàm ta được đpcm. (Tới đây có em dùng BĐT Côsi
1881
t
t không thu được kết quả vì đã vi phạm nguyên tắc dấu ‘=’)
2. Nếu suy nghĩ theo hướng nhập các dấu căn:
+ Ở mỗi dấu căn là dạng bình phương tổng 3 độ dài của ba vectơ .
+ đoán dấu ‘=’ khi x = y = z =
3
1 . Khi đó 3 vectơ u = (x ;
x
1 ), v= (y ;
y
1 ) và w = (z ;
z
1 )
cùng hướng được tức đẳng thức sau xảy ra được : P =
22 111 )
zyx
()xyx(wvuwvu
+ Tới đây thực hiện các bước phân tích như 1.
Khi thay dữ kiện x + y + z 1 bằng dữ kiện khác, chẳng hạn: x + y + z 2 thì vế phải bài
toán như thế nào ?
Thí dụ 2: (DBĐH - 2003)
Tìm GTNN, GTLN của : P = sin5x + 3 cosx.
Phân tích:
Ta thấy P chứa một ẩn x suy nghĩ đầu tiên của ta thường là dùng đạo hàm. Thử đạo hàm :
f’(x) = 5sin4x.cosx – 3 x
+ Chúng ta thấy có một nghiệm là sinx = 0 nhưng các nghiệm còn lại ta không thể tìm được.
Như vậy hướng giải quyết khi đạo hàm trực tiếp là không khả thi. Nhưng qua đây cho ta có
đoán được các điểm mà tại đó đạt NN, LN sẽ là các điểm làm sinx = 0.(thường thì các
điểm đạt max, min là các điểm tới hạn của hàm số)
+ Từ điều này, khi ta biến đổi và sử dụng các bất đẳng thức để đánh giá phải lu