thattinhco8000
New Member
Download miễn phí Khóa luận Sử dụng hàm bessel để giải bài toán truyền nhiệt
HẦN I: MỞ ĐẦU.Trang 1
1. Lý do chọn đề tài.Trang 1
2. Mục đích nghiên cứu.Trang 1
3. Đối tượng nghiên cứu .Trang 1
4. Nhiệm vụ nghiên cứu .Trang 1
5. Phương pháp nghiên cứu.Trang 1
6. Giả thuyết khoa học .Trang 2
7. Phạm vi nghiên cứu.Trang 2
8. Đóng góp của khóa luận.Trang 2
9. Dàn ý của khóa luận.Trang 2
PHẦN II: NỘI DUNG.Trang 3
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI.Trang 3
1.1 Lý luận về bài tập vật lý.Trang 3
1.2 Bài toán biên .Trang 6
1.3 Các chuỗi và hệ trực giao.Trang 9
1.4 Khái niệm toán tử, hàm riêng, trị riêng .Trang 19
CHƯƠNG II: XÂY DỰNG PHƯƠNG TRÌNH BESSEL
VÀ HÀM BESSEL .Trang 22
2.1 Khái niệm hàm Bessel.Trang 22
2.2 Cơ sở cho việc xây dựng hàm Bessel, phương trình hàm Bessel .Trang 25
2.3 Tính trực giao của hàm Bessel .Trang 31
2.4 Các hệ thức liên quan đến hàm Bessel.Trang 31
Để tải tài liệu này, vui lòng Trả lời bài viết, Mods sẽ gửi Link download cho bạn ngay qua hòm tin nhắn.
Ketnooi -
You must be registered for see links
Ai cần tài liệu gì mà không tìm thấy ở Ketnooi, đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí
Tóm tắt nội dung tài liệu:
x xJ x
⎛ ⎞= − + − +⎜ ⎟× × × × × ×⎝ ⎠
2.3. TÍNH TRỰC GIAO CỦA HÀM BESSEL
Các hàm v i
xJ
L
µ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ trực giao và chuẩn hoá trong đoạn: 0 x L< <
• Tính trực giao thứ nhất của hàm Bessel:
Công thức:
( ) ( )2 2' 2 20 1
0,
,
2 2
L
v i v j
v i v i
i j
x xxJ J dx L LL L J J i j
µ µ µ µ+
≠⎧⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ =⎨⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = =⎪⎩
∫
với iµ và jµ là hai nghiệm dương của phương trình ( ) ( )0 1vJ x v= > −
• Tính trực giao thứ hai của hàm Bessel:
Công thức:
( )2 2 2 2 22 20
0,
1 ,
2
L
i jv i v j
v
i j
x xxJ J dx L v JL L
i j
µ µ µµ µ α β µβ µ
≠⎧⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = =⎛ ⎞= ⎧−⎨⎜ ⎟ ⎜ ⎟ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎨⎪ =⎩⎝ ⎠⎩
∫
với iµ và jµ hai là nghiệm dương của phương trình ( ) ( )' 0v vJ x xJ xα β+ = ( )1v > −
2.4 CÁC HỆ THỨC LIÊN QUAN ĐẾN HÀM BESSEL
2.4.1 Khai triển một hàm tuỳ ý vào các hàm Bessel.
Khai triển một hàm bất kì vào chuỗi các hàm Bessel v i
xJ
L
µ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ với hệ số khai
triển là ia : ( )
1
, 1, 0i v i
i
xf x a J v x L
L
µ∞
=
⎛ ⎞= > − < <⎜ ⎟⎝ ⎠∑
• Nếu ( )1,2,3,...i iµ = là nghiệm của phương trình ( ) 0vJ x = , theo công thức ở
trên thì :
32
( ) ( )2 2' 2 20 1
0,
,
2 2
L
v i v j
v i v i
i j
x xxJ J dx L LL L J J i j
µ µ µ µ+
≠⎧⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ =⎨⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = =⎪⎩
∫
Nhân hai vế với v i
xxJ
L
µ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ rồi lấy tích phân từ 0 đến L suy ra được hệ số:
( ) ( )2 2 1 0
2 L
i v i
v i
xa xf x J dx
LL J
µµ+
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠∫
Người ta gọi khai triển này là khai triển Fourier – Bessel.
• Nếu ( )1,2,...i iµ = là nghiệm của phương trình ( ) ( )' 0v vJ x xJ xα β+ = , theo
công thức ở trên thì
( )
( )2 2 2 2 20 2 2
0,
1 ,
2
L
v i v j i j
v
i j
x xxJ J dx L vL L J
i j
µ µ µ µ µα β µβ µ
⎧ ≠⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = = =⎧⎛ ⎞⎨ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎨⎜ ⎟⎪ =⎝ ⎠ ⎩⎩
∫
Nhân hai vế với v j
xxJ
L
µ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ rồi lấy tích phân từ 0 đến L suy ra được hệ số:
( )
( )2 2 2
2 2 0
2 2
2
1
L
i v i
v i
i
xa xf x J dx
LvL J
µα β µβ µ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠−+⎜ ⎟⎝ ⎠
∫
Người ta gọi khai triển này là khai triển Dyni – Bessel.
2.4.2 Đa thức Legendre.
Phương trình Legendre có dạng
( ) 01 2 =+⎥⎦⎤⎢⎣⎡ − ydxdyxdxd λ (2.28)
hay
( )
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−+−
=+−−
021
021
2
2
2
2
2
2
y
dx
dyx
dx
ydx
y
dx
dyx
dx
ydx
λ
λ
(2.29)
33
Trong đó λ là tham số nào đó, phương trình có các điểm đặc biệt tại 1±=x . Vấn
đề đặt ra là tìm giá trị của tham số λ , sao cho phương trình tồn tại nghiệm không
tầm thường trong đoạn [ ]1,1− .
Tìm nghiệm của phương trình Legendre dưới dạng chuỗi ∑∞
=
=
0n
n
n xay
Thay y vào (2.29) ta nhận được:
( ) ( ) ∑∑∑∑ ∞
=
∞
=
∞
=
−∞
=
=−+−−−
022
2
2
0211
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n xaxnaxannxann λ
Thay n=2 vào số hạng thứ hai ta được:
( )[ ] ( )( ) 0121 2 =++−−+ +nn annann λ
Hay là
( )
( )( ) nn ann
nna
21
1
2 ++
−+=+ λ các hệ số 0a và 1a tuỳ ý.
Khi 00 ≠a , 01 =a ta có nghiệm riêng của phương trình Legendre chỉ chứa các bậc
chẵn của x.
Khi 00 ≠a , 01 ≠a ta có nghiệm riêng của phương trình Legendre chỉ chứa các bậc
lẻ của x.
Khi λ =n(n+1) phương trình có nghiệm dưới dạng chuỗi dến bậc n. Tìm nghiệm
tương ứng của phương trình
( ) ( ) 011 2 =++⎥⎦⎤⎢⎣⎡ − ynndxdyxdxd
Hay ( ) ( ) 0121 222 =++−− ynndxdyxdx ydx có dạng chuỗi bậc n.
Xét đa thức bậc 2n:
( )nxz 12 −=
Phương trình trên thoã phương trình vi phân sau:
( ) 0212 =−− nxz
dx
dzx
Lấy đạo hàm hai vế phương trình trên n lần theo x, ta nhận được:
( ) ( ) ( ) ( ) 011 12 =++− −nn znn
dx
dzx
34
Nếu lấy vi phân phương trình này một lần nữa theo x, sẽ tìm được ( )nz thoã mãn
phương trình (2.28):
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;012111 122112 =++−−=′++− ++−+ nnnnn znnxzzxznnzx
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0121 2 =++−− nnn znn
dx
dzx
dx
dzx .
Như vậy phương trình (2.29) có nghiệm:
( ) ( )
n
nn
n
dx
xdCCzy 1
2 −== ,
trong đó C là hằng số. Đặt !2
1
n
C n= , ta có
( ) ( ) ( )...2,1,0,1
!2
1 2 =−== n
dx
xd
n
xPy n
nn
nn (2.30)
Đây là đa thức Legendre, là nghiệm của phương trình (2.28) khi ( )1+= nnλ . Một
vài giá trị đầu tiên của nghiệm là:
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ).35
2
1
;13
2
1
;
;1
3
3
2
2
1
0
xxxP
xxP
xxP
xP
−=
−=
=
=
Chứng minh rằng, các đa thức Legendre với bậc khác nhau trực giao và chuẩn hoá
với nhau trong khoảng (-1;+1).
Phương trình của hai đa thức Legendre khác nhau là:
( ) ( )[ ] ( )
( ) ( )[ ] ( ) ( ).,01
01
2
2
nm
xPxPx
dx
d
xPxPx
dx
d
nnn
mmm
≠
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
=+′−
=+′−
λ
λ
Nhân phương trình thứ nhất với ( )xPn , phương trình thứ hai với ( )xPhần mềm , trừ hai
phương trình vừa có được với nhau, sau đó lấy tích phân hai vế trong khoảng từ (-
1;+1), ta được:
35
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] dxxPx
dx
dxPxPx
dx
dxPdxxPxP mnnmmnnm ⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ ′−−′−=− ∫∫
−−
22
1
1
1
1
11λλ
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 01 1
1
2 =′−′−= =−=xxmnnm xPxPxPxPx
Như vậy ( ) ( ) ( ) 0
1
1
=− ∫
−
dxxPxP mnnm λλ
Hay là ( ) ( ) ( )nmdxxPxP mn ≠=∫
−
;0
1
1
tức là các đa thức Legendre trực giao nhau trên đoạn (-1;+1).
Bây giờ chuẩn hoá đa thức Legendre
( ) 01
1
2 == ∫
−
dxxPH nn
Sử dụng công thức tường minh của đa thức Legendre, tích phân trên có dạng
( )
( ) ( ) .11
!2
1
2
21
1
2
2
22
dx
dx
xd
dx
xd
n
H n
nn
n
nn
nn
−−= ∫
−
Tích phân từng phần n lần và chú ý rằng sẽ xuất hiện một hạng thức bên ngoài tích
phân bằng không, ta có:
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) .1!2 !2111!2 1
1
1
2
222
21
1
2
22
1
1
2 dxx
n
ndx
dx
xdx
n
dxxP n
n
n
n
nn
n
n
n
n ∫∫∫
−−−
−−=−−−=
Biết rằng:
( ) ( ) ( ) ,12...5.3 2...4.2.2.11
1
1
2
+−=−∫− n
ndxx nn
Do đó ( ) 12
21
1
2
+=∫− ndxxPn
Như vậy, tính trực giao và chuẩn hoá của đa thức Legendre trên đoạn (-1;+1) là:
( ) ( )
( )
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
≠
=∫
− nmn
nm
dxxPxP mn ,
12
2
,01
1
(2.31)
36
Với tính trực giao của các đa thức Legendre, có thể khai triển hàm bất kỳ vào chuỗi
các đa thức Legendre
( ) ( ),
0
xPaxf n
n
n∑∞
=
=
Trong đó ( ) ( )dxxPxfna nn ∫
−
+=
1
12
12
.
Tóm lại:
a)Phương trình Legendre:
Là phương trình có dạng:
( )
( )
2
2
21 0, 1 11
1
d dy mx y x
dx dx x
y
λ⎧ ⎛ ⎞⎡ ⎤− + − = − < <⎪ ⎜ ⎟⎢ ⎥ −⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎨⎪ ± < ∞⎩
• Khi m = 0: nghiệm của phương trình Legendre xác định đa thức Legendre ( )nP x :
( ) ( ) ( )2 11 . 0,1,2,...
2 !
nn
n n n
d x
P x n
n dx
−= = ; ( )1n nλ = +
• Khi 0m ≠ nghiệm của (1) sẽ xác định đa thức Legendre liên kết cấp m
( ) ( ) ( ) ( )2 21 mmm nn m nd P xP x x dx += − ( )0,1,2,...m =
tương ứng trị riêng ( ) ( )1 1,2,...n n n nλ = + = ; m n≤
b)Tính trực giao và chuẩn hóa của các đa thức Legendre:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
1
1
0,
!2 ;
2 1 !
m m
n k
k n
P x P x dx n m
k n
n n m−
≠⎧⎪= +⎨ =⎪ + −⎩
∫
( ) ( ) ( )( )
2 !2 .
2 1 !
m
n
n m
P x
n n m
+= + −
c) Khai triển một hàm tuỳ ý vào các hàm Legendre:
( ) ( )
0
n n
n
f x a P x
∞
=
=∑ với ( )1
1
2 1
2n
na f dξ ξ
−
+= ∫
37
2.4.3 Hàm cầu.
Xét phương trình Laplce được viết trong hệ toạ độ cầu
2
2
222
2
2 sin
1sin
sin
11
ϕθθθθθ ∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂=∆ u
rrr
ur
rr
u (2.32)
Trong đó ( )ϕθ ,,ruu = .
Dùng phương pháp tách biến đặt ( ) ( ) ( )ϕθϕθ ,,, YrRru =
Thay vào (2.32) ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,
sin
1,sin
sin
, 2
2
2
2 =∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
ϕ
ϕθ
θθ
ϕθθθθϕθ
YYrR
r
rRr
r
Y Chia
hai vế cho ( ) ( )ϕθ ,YrR ta có
( )
( )
( )
( ) ( ) 0,
sin
1,sin
sin
1
,
11
2
2
2
2 =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
ϕ
ϕθ
θθ
ϕθθθθϕθ
YY
Yr
rRr
rrR
( )
( ) ( )
( )
( ) λϕ
ϕθ
θθ
ϕθθθθϕθ −=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂⇔
r
rRr
rrR
YY
Y
2
2
2
2
1,
sin
1,sin
sin
1
,
1
Chọn:
( )
( )
( )
( ) ( )
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
λϕ
ϕθ
θθ
ϕθθθθϕθ
λ
2
2
2
2
,
sin
1,sin
sin
1
,
1
1
YY
Y
r
rRr
rrR
Bằng cách chọn λ cho các biểu thức trên ta có các phương trình sau
( )
( )
( )
( ) ( ) λ
λ
=+⇔
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
dr
rdR
rR
r
dr
rRd
rR
r
r
rRr
rrR
)(
2
1
2
22
2
Và
( ) ( ) ( ) 0,,
sin
1,sin
sin
1
2
2
2 =+∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂ ϕθλϕ
ϕθ
θθ
ϕθθθθ Y
YY
Hàm R thoả mãn phương trình
022 =−′+′′ RRrRr λ
Nghiệm của phương trình có dạng: ( ) 1++= nnnn r
BrArR
38
trong đó n thoả mãn phương trình λ =n(n+1).
Xét bài toán ngoài, do n nguyên, 10 +=⇒= nnn r
B
RA
Phương trình Y có dạng
0
sin
1sin
sin
1
2
2
2, =+∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂=+∆ YYYY λϕθθθθθλϕθ
Hàm Y thoã mãn điều kiện
( ) ( )
( ) ( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
∞<∞<
+=
ϕπϕθ
πϕθϕθ
,,,
2,,
YY
YY
Nghiệm phương trình Laplace có dạng
( ) ( )1,,, += nnR
Yru ϕθϕθ
Người ta định nghĩa hàm cầu là nghiệm của phương trình
( ) 01
sin
1sin
sin
1
2
2
2 =++∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
n
nn YnnYY ϕθθθθθ (2.33)
( ) ( )
( ) ( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
∞<∞<
+=
ϕπϕθ
πϕθϕθ
,,,
2,,...
⎛ ⎞= − + − +⎜ ⎟× × × × × ×⎝ ⎠
2.3. TÍNH TRỰC GIAO CỦA HÀM BESSEL
Các hàm v i
xJ
L
µ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ trực giao và chuẩn hoá trong đoạn: 0 x L< <
• Tính trực giao thứ nhất của hàm Bessel:
Công thức:
( ) ( )2 2' 2 20 1
0,
,
2 2
L
v i v j
v i v i
i j
x xxJ J dx L LL L J J i j
µ µ µ µ+
≠⎧⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ =⎨⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = =⎪⎩
∫
với iµ và jµ là hai nghiệm dương của phương trình ( ) ( )0 1vJ x v= > −
• Tính trực giao thứ hai của hàm Bessel:
Công thức:
( )2 2 2 2 22 20
0,
1 ,
2
L
i jv i v j
v
i j
x xxJ J dx L v JL L
i j
µ µ µµ µ α β µβ µ
≠⎧⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = =⎛ ⎞= ⎧−⎨⎜ ⎟ ⎜ ⎟ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎨⎪ =⎩⎝ ⎠⎩
∫
với iµ và jµ hai là nghiệm dương của phương trình ( ) ( )' 0v vJ x xJ xα β+ = ( )1v > −
2.4 CÁC HỆ THỨC LIÊN QUAN ĐẾN HÀM BESSEL
2.4.1 Khai triển một hàm tuỳ ý vào các hàm Bessel.
Khai triển một hàm bất kì vào chuỗi các hàm Bessel v i
xJ
L
µ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ với hệ số khai
triển là ia : ( )
1
, 1, 0i v i
i
xf x a J v x L
L
µ∞
=
⎛ ⎞= > − < <⎜ ⎟⎝ ⎠∑
• Nếu ( )1,2,3,...i iµ = là nghiệm của phương trình ( ) 0vJ x = , theo công thức ở
trên thì :
32
( ) ( )2 2' 2 20 1
0,
,
2 2
L
v i v j
v i v i
i j
x xxJ J dx L LL L J J i j
µ µ µ µ+
≠⎧⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ =⎨⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = =⎪⎩
∫
Nhân hai vế với v i
xxJ
L
µ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ rồi lấy tích phân từ 0 đến L suy ra được hệ số:
( ) ( )2 2 1 0
2 L
i v i
v i
xa xf x J dx
LL J
µµ+
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠∫
Người ta gọi khai triển này là khai triển Fourier – Bessel.
• Nếu ( )1,2,...i iµ = là nghiệm của phương trình ( ) ( )' 0v vJ x xJ xα β+ = , theo
công thức ở trên thì
( )
( )2 2 2 2 20 2 2
0,
1 ,
2
L
v i v j i j
v
i j
x xxJ J dx L vL L J
i j
µ µ µ µ µα β µβ µ
⎧ ≠⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = = =⎧⎛ ⎞⎨ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎨⎜ ⎟⎪ =⎝ ⎠ ⎩⎩
∫
Nhân hai vế với v j
xxJ
L
µ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ rồi lấy tích phân từ 0 đến L suy ra được hệ số:
( )
( )2 2 2
2 2 0
2 2
2
1
L
i v i
v i
i
xa xf x J dx
LvL J
µα β µβ µ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠−+⎜ ⎟⎝ ⎠
∫
Người ta gọi khai triển này là khai triển Dyni – Bessel.
2.4.2 Đa thức Legendre.
Phương trình Legendre có dạng
( ) 01 2 =+⎥⎦⎤⎢⎣⎡ − ydxdyxdxd λ (2.28)
hay
( )
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−+−
=+−−
021
021
2
2
2
2
2
2
y
dx
dyx
dx
ydx
y
dx
dyx
dx
ydx
λ
λ
(2.29)
33
Trong đó λ là tham số nào đó, phương trình có các điểm đặc biệt tại 1±=x . Vấn
đề đặt ra là tìm giá trị của tham số λ , sao cho phương trình tồn tại nghiệm không
tầm thường trong đoạn [ ]1,1− .
Tìm nghiệm của phương trình Legendre dưới dạng chuỗi ∑∞
=
=
0n
n
n xay
Thay y vào (2.29) ta nhận được:
( ) ( ) ∑∑∑∑ ∞
=
∞
=
∞
=
−∞
=
=−+−−−
022
2
2
0211
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n xaxnaxannxann λ
Thay n=2 vào số hạng thứ hai ta được:
( )[ ] ( )( ) 0121 2 =++−−+ +nn annann λ
Hay là
( )
( )( ) nn ann
nna
21
1
2 ++
−+=+ λ các hệ số 0a và 1a tuỳ ý.
Khi 00 ≠a , 01 =a ta có nghiệm riêng của phương trình Legendre chỉ chứa các bậc
chẵn của x.
Khi 00 ≠a , 01 ≠a ta có nghiệm riêng của phương trình Legendre chỉ chứa các bậc
lẻ của x.
Khi λ =n(n+1) phương trình có nghiệm dưới dạng chuỗi dến bậc n. Tìm nghiệm
tương ứng của phương trình
( ) ( ) 011 2 =++⎥⎦⎤⎢⎣⎡ − ynndxdyxdxd
Hay ( ) ( ) 0121 222 =++−− ynndxdyxdx ydx có dạng chuỗi bậc n.
Xét đa thức bậc 2n:
( )nxz 12 −=
Phương trình trên thoã phương trình vi phân sau:
( ) 0212 =−− nxz
dx
dzx
Lấy đạo hàm hai vế phương trình trên n lần theo x, ta nhận được:
( ) ( ) ( ) ( ) 011 12 =++− −nn znn
dx
dzx
34
Nếu lấy vi phân phương trình này một lần nữa theo x, sẽ tìm được ( )nz thoã mãn
phương trình (2.28):
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;012111 122112 =++−−=′++− ++−+ nnnnn znnxzzxznnzx
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0121 2 =++−− nnn znn
dx
dzx
dx
dzx .
Như vậy phương trình (2.29) có nghiệm:
( ) ( )
n
nn
n
dx
xdCCzy 1
2 −== ,
trong đó C là hằng số. Đặt !2
1
n
C n= , ta có
( ) ( ) ( )...2,1,0,1
!2
1 2 =−== n
dx
xd
n
xPy n
nn
nn (2.30)
Đây là đa thức Legendre, là nghiệm của phương trình (2.28) khi ( )1+= nnλ . Một
vài giá trị đầu tiên của nghiệm là:
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ).35
2
1
;13
2
1
;
;1
3
3
2
2
1
0
xxxP
xxP
xxP
xP
−=
−=
=
=
Chứng minh rằng, các đa thức Legendre với bậc khác nhau trực giao và chuẩn hoá
với nhau trong khoảng (-1;+1).
Phương trình của hai đa thức Legendre khác nhau là:
( ) ( )[ ] ( )
( ) ( )[ ] ( ) ( ).,01
01
2
2
nm
xPxPx
dx
d
xPxPx
dx
d
nnn
mmm
≠
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
=+′−
=+′−
λ
λ
Nhân phương trình thứ nhất với ( )xPn , phương trình thứ hai với ( )xPhần mềm , trừ hai
phương trình vừa có được với nhau, sau đó lấy tích phân hai vế trong khoảng từ (-
1;+1), ta được:
35
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] dxxPx
dx
dxPxPx
dx
dxPdxxPxP mnnmmnnm ⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ ′−−′−=− ∫∫
−−
22
1
1
1
1
11λλ
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 01 1
1
2 =′−′−= =−=xxmnnm xPxPxPxPx
Như vậy ( ) ( ) ( ) 0
1
1
=− ∫
−
dxxPxP mnnm λλ
Hay là ( ) ( ) ( )nmdxxPxP mn ≠=∫
−
;0
1
1
tức là các đa thức Legendre trực giao nhau trên đoạn (-1;+1).
Bây giờ chuẩn hoá đa thức Legendre
( ) 01
1
2 == ∫
−
dxxPH nn
Sử dụng công thức tường minh của đa thức Legendre, tích phân trên có dạng
( )
( ) ( ) .11
!2
1
2
21
1
2
2
22
dx
dx
xd
dx
xd
n
H n
nn
n
nn
nn
−−= ∫
−
Tích phân từng phần n lần và chú ý rằng sẽ xuất hiện một hạng thức bên ngoài tích
phân bằng không, ta có:
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) .1!2 !2111!2 1
1
1
2
222
21
1
2
22
1
1
2 dxx
n
ndx
dx
xdx
n
dxxP n
n
n
n
nn
n
n
n
n ∫∫∫
−−−
−−=−−−=
Biết rằng:
( ) ( ) ( ) ,12...5.3 2...4.2.2.11
1
1
2
+−=−∫− n
ndxx nn
Do đó ( ) 12
21
1
2
+=∫− ndxxPn
Như vậy, tính trực giao và chuẩn hoá của đa thức Legendre trên đoạn (-1;+1) là:
( ) ( )
( )
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
≠
=∫
− nmn
nm
dxxPxP mn ,
12
2
,01
1
(2.31)
36
Với tính trực giao của các đa thức Legendre, có thể khai triển hàm bất kỳ vào chuỗi
các đa thức Legendre
( ) ( ),
0
xPaxf n
n
n∑∞
=
=
Trong đó ( ) ( )dxxPxfna nn ∫
−
+=
1
12
12
.
Tóm lại:
a)Phương trình Legendre:
Là phương trình có dạng:
( )
( )
2
2
21 0, 1 11
1
d dy mx y x
dx dx x
y
λ⎧ ⎛ ⎞⎡ ⎤− + − = − < <⎪ ⎜ ⎟⎢ ⎥ −⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎨⎪ ± < ∞⎩
• Khi m = 0: nghiệm của phương trình Legendre xác định đa thức Legendre ( )nP x :
( ) ( ) ( )2 11 . 0,1,2,...
2 !
nn
n n n
d x
P x n
n dx
−= = ; ( )1n nλ = +
• Khi 0m ≠ nghiệm của (1) sẽ xác định đa thức Legendre liên kết cấp m
( ) ( ) ( ) ( )2 21 mmm nn m nd P xP x x dx += − ( )0,1,2,...m =
tương ứng trị riêng ( ) ( )1 1,2,...n n n nλ = + = ; m n≤
b)Tính trực giao và chuẩn hóa của các đa thức Legendre:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
1
1
0,
!2 ;
2 1 !
m m
n k
k n
P x P x dx n m
k n
n n m−
≠⎧⎪= +⎨ =⎪ + −⎩
∫
( ) ( ) ( )( )
2 !2 .
2 1 !
m
n
n m
P x
n n m
+= + −
c) Khai triển một hàm tuỳ ý vào các hàm Legendre:
( ) ( )
0
n n
n
f x a P x
∞
=
=∑ với ( )1
1
2 1
2n
na f dξ ξ
−
+= ∫
37
2.4.3 Hàm cầu.
Xét phương trình Laplce được viết trong hệ toạ độ cầu
2
2
222
2
2 sin
1sin
sin
11
ϕθθθθθ ∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂=∆ u
rrr
ur
rr
u (2.32)
Trong đó ( )ϕθ ,,ruu = .
Dùng phương pháp tách biến đặt ( ) ( ) ( )ϕθϕθ ,,, YrRru =
Thay vào (2.32) ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,
sin
1,sin
sin
, 2
2
2
2 =∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
ϕ
ϕθ
θθ
ϕθθθθϕθ
YYrR
r
rRr
r
Y Chia
hai vế cho ( ) ( )ϕθ ,YrR ta có
( )
( )
( )
( ) ( ) 0,
sin
1,sin
sin
1
,
11
2
2
2
2 =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
ϕ
ϕθ
θθ
ϕθθθθϕθ
YY
Yr
rRr
rrR
( )
( ) ( )
( )
( ) λϕ
ϕθ
θθ
ϕθθθθϕθ −=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂⇔
r
rRr
rrR
YY
Y
2
2
2
2
1,
sin
1,sin
sin
1
,
1
Chọn:
( )
( )
( )
( ) ( )
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
λϕ
ϕθ
θθ
ϕθθθθϕθ
λ
2
2
2
2
,
sin
1,sin
sin
1
,
1
1
YY
Y
r
rRr
rrR
Bằng cách chọn λ cho các biểu thức trên ta có các phương trình sau
( )
( )
( )
( ) ( ) λ
λ
=+⇔
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
dr
rdR
rR
r
dr
rRd
rR
r
r
rRr
rrR
)(
2
1
2
22
2
Và
( ) ( ) ( ) 0,,
sin
1,sin
sin
1
2
2
2 =+∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂ ϕθλϕ
ϕθ
θθ
ϕθθθθ Y
YY
Hàm R thoả mãn phương trình
022 =−′+′′ RRrRr λ
Nghiệm của phương trình có dạng: ( ) 1++= nnnn r
BrArR
38
trong đó n thoả mãn phương trình λ =n(n+1).
Xét bài toán ngoài, do n nguyên, 10 +=⇒= nnn r
B
RA
Phương trình Y có dạng
0
sin
1sin
sin
1
2
2
2, =+∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂=+∆ YYYY λϕθθθθθλϕθ
Hàm Y thoã mãn điều kiện
( ) ( )
( ) ( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
∞<∞<
+=
ϕπϕθ
πϕθϕθ
,,,
2,,
YY
YY
Nghiệm phương trình Laplace có dạng
( ) ( )1,,, += nnR
Yru ϕθϕθ
Người ta định nghĩa hàm cầu là nghiệm của phương trình
( ) 01
sin
1sin
sin
1
2
2
2 =++∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
n
nn YnnYY ϕθθθθθ (2.33)
( ) ( )
( ) ( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
∞<∞<
+=
ϕπϕθ
πϕθϕθ
,,,
2,,...