Link tải luận văn miễn phí cho ae Ket-noi
ỜI NÓI ĐẦU
Trong lý thuyết và ứng dụng ta thường gặp các bài toán cực trị (tìm cực đại
và cực tiểu). Khi giải một bài toán cực trị người ta thường tìm cách đưa nó về
các bài toán đơn giản hơn: với số biến hay số ràng buộc ít hơn, thậm chí không
có ràng buộc càng tốt. Ý tưởng này được thể hiện rõ nét trong phương pháp
nhân tử Lagrange và trong một số phương pháp tối ưu khác. Nguyên lý
Lagrange tạo cơ sở lý thuyết cho phương pháp nhân tử Lagrange giải bài toán
cực trị có ràng buộc, đặc biệt là các bài toán với ràng buộc đẳng thức.
Mục tiêu của luận văn này là tìm hiểu nguyên lý Lagrange trong lý thuyết
các bài toán cực trị, chủ yếu xét trong không gian hữu hạn chiều ℝn và ứng dụng
nguyên lý này vào việc tìm nghiệm (cực tiểu và cực đại) của các bài toán cực trị
có hay không có ràng buộc, đặc biệt là các bài toán quen thuộc trong số học và
hình học, nhằm nâng cao kiến thức và khả năng trong giảng dạy và nghiên cứu
về toán tối ưu nói riêng và toán ứng dụng nói chung.
Nội dung luận văn được viết trong ba chương.
Chương 1 “Bài toán cực trị” trình bày khái quát về bài toán cực trị có hoặc
không có ràng buộc, nhắc lại các khái niệm về nghiệm cực tiểu (cực đại) địa
phương (toàn cục), sự tồn tại nghiệm của bài toán, các điều kiện đòi hỏi nghiệm
bài toán cần thỏa mãn (điều kiện cần và điều kiện đủ), dựa vào đó tìm nghiệm
tối ưu của bài toán.
Chương 2 “Nguyên lý Lagrange” trình bày kết quả lý thuyết về điều kiện
cần tối ưu (cấp 1, cấp 2) và điều kiện đủ tối ưu (cấp 2) cho nghiệm cực tiểu địa
phương của bài toán qui hoạch phi tuyến với ràng buộc đẳng thức và trình bày
phương pháp nhân tử Lagrange đưa bài toán có ràng buộc đẳng thức về bài toán
(không ràng buộc) của hàm Lagrange (bằng hàm mục tiêu ban đầu cộng với các
hàm ràng buộc, sau khi đã nhân với các hệ số gọi là các nhân tử Lagrange).
2
Chương 3 “Áp dụng giải bài toán cực trị” trình bày các ứng dụng của
nguyên lý Lagrange vào việc tìm nghiệm cực tiểu hay cực đại của một số bài
toán cực trị, chủ yếu là bài toán với ràng buộc đẳng thức. Đặc biệt xét các bài
toán quen thuộc trong số học và hình học, bài toán về chứng minh các bất đẳng
thức, bài toán về khoảng cách, bài toán Steiner. Đây là những bài toán có ý
nghĩa thực tế, được các nhà toán học nổi tiếng đề ra hay nêu cách giải. Qua đó
giới thiệu một số ứng dụng của lý thuyết tối ưu trong thực tiễn.
Do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên chắc chắn luận văn này còn có
những thiếu sót nhất định, kính mong quí thầy cô và các bạn đóng góp ý kiến để
tác giả tiếp tục hoàn thiện luận văn sau này.
Nhân dịp này tác giả luận văn xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS-TS
Trần Vũ Thiệu, Viện Toán học - Viện Hàn Lâm Khoa học và Công nghệ Việt
Nam đã tận tình chỉ bảo, giúp đỡ tui trong quá trình làm luận văn.
Bên cạnh đó tui cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến ban giám hiệu trường Đại
học Khoa học Thái Nguyên, Khoa Toán - Tin, Trung tâm học liệu Đại học Thái
Nguyên đã tận tình động viên, tạo điều kiện giúp đỡ tui trong thời gian học tập
và làm luận văn.
tui xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Viện Toán học - Viện Hàn Lâm
Khoa học và Công nghệ Việt Nam đã tạo điều kiện thuận lợi cho tui trong thời
gian học tập nghiên cứu.
tui xin gửi lời Thank chân thành đến những người thân trong gia đình,
bạn bè và đồng nghiệp về những sự quan tâm, động viên và giúp đỡ tui trong
thời gian qua.
Thái Nguyên, ngày 09 tháng 3 năm 2014
Học viên
Nguyễn Thành Công
3
Chương 1
BÀI TOÁN CỰC TRỊ
Chương này nhắc lại một số khái niệm cơ bản về bài toán cực trị có hoặc
không có ràng buộc, các khái niệm nghiệm cực tiểu (cực đại) địa phương (toàn
cục), sự tồn tại nghiệm của bài toán, các điều kiện đòi hỏi nghiệm bài toán cần
thỏa mãn (điều kiện tối ưu cần và đủ). Nội dung của chương được tham khảo
chủ yếu từ các tài liệu [1], [2], [4] và [6].
1.1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.1.1. Ví dụ về bài toán cực trị
Các bài toán cực trị đã biết từ bậc phổ thông. Để làm ví dụ, ta xét hai bài
toán quen thuộc trong hình học phẳng.
Bài toán 1 (Bài toán Heron). Tìm trên đường thẳng đã cho một điểm sao
cho tổng khoảng cách từ điểm đó tới hai điểm cho trước là nhỏ nhất? (Hình 1.1).
Bài toán 2. Vẽ nội tiếp trong hình tròn một hình chữ nhật có diện tích lớn
nhất? (Hình 1.2).
Hình 1.1 Hình 1.2
Bài toán 1 tìm cực tiểu (minimum), bài toán 2 tìm cực đại (maximum). Cực
tiểu và cực đại được gọi chung là cực trị (extremum). Đôi khi người ta dùng từ
tối ưu (optimization), nghĩa là tốt nhất hay hoàn hảo nhất. Như vậy, bài toán 1
và 2 là các bài toán cực trị hay bài toán tối ưu. Lý thuyết các bài toán tìm giá trị
nhỏ nhất (lớn nhất) của hàm gọi là lý thuyết bài toán cực trị hay lý thuyết tối ưu.
0 x
y
r
(x, y)
0
A (0, a)
B (d, b)
Cˆ ( xˆ , 0) C (x, 0)
y
x1 2
A'(0,- a)
4
Các bài toán 1 và 2 được mô tả bằng lời, không dùng công thức. Các bài
toán cực trị nảy sinh từ các lĩnh vực khoa học hay từ thực tiễn thường như vậy:
chúng được mô tả bằng lời theo thuật ngữ có nội dung của lĩnh vực nảy sinh ra
các bài toán đó. Để có thể áp dụng được lý thuyết tối ưu thì cần chuyển bài toán
sang ngôn ngữ toán học. Cách làm này gọi là hình thức hóa bài toán. Cùng một
bài toán có thể được hình thức hóa theo nhiều cách khác nhau và cách giải có
đơn giản và hiệu qủa hay không thường phụ thuộc rất nhiều vào mức độ thành
công của sự hình thức hóa đó. Ta hình thức hóa bài toán 1 và 2 như sau.
Bài toán 1: Vẽ trục Ox dọc theo đường thẳng đã cho và trục Oy vuông góc
đi qua điểm A (xem Hình 1.1). Giả sử tọa độ của hai điểm đã cho là: A = (0, a)
và B = (d, b); tọa độ của điểm cần tìm C = (x, 0). Khoảng cách từ A tới C và từ B
tới C lần lượt là |AC| = 22 xa và |BC| = 22 )xd(b . Từ đó, ta đi đến bài
toán: Tìm cực tiểu của hàm một biến
f(x) = 22 xa + 22 )xd(b với x ∈ ℝ.
Bài toán 2: Giả sử đường tròn được mô tả bởi phương trình x2 + y2 = r2, Vẽ
các trục Ox và Oy song song với các cạnh hình chữ nhật và ký hiệu (x, y) là tọa
độ của đỉnh hình chữ nhật nằm ở góc phần tư thứ nhất (xem Hình 1.2). Khi đó
diện tích hình chữ nhật bằng 4xy.
Hình 3.5. Bài toán Steiner mở rộng
Bài toán 3.4.3. Tìm trong mặt phẳng một điểm sao cho tổng khoảng cách
từ điểm đó tới bốn điểm khác nhau đã đánh giá là nhỏ nhất?
Đáp án. Nếu các điểm tạo thành một tứ giác lồi thì điểm cần tìm là giao
điểm hai đường chéo của tứ giác; còn nếu tứ giác nhận được không lồi thì điểm
cần tìm là đỉnh ứng với góc lớn nhất.
Bài toán 3.4.4. Tìm trong mặt phẳng một điểm sao cho tổng khoảng cách
từ điểm đó tới các đỉnh của một đa giác đều cho trước là nhỏ nhất?
30o
m3 m2
m1
90o
60o
120o
x3x2
x1
90o
150o
47
Đáp án. Tâm của đa giác.
Tóm lại, chương này đã trình bày một số dạng bài toán tối ưu có thể áp
dụng nguyên lý Lagrange để giải. Qua đó giới thiệu một số ứng dụng của lý
thuyết tối ưu trong thực tiễn.
48
KẾT LUẬN
Trong khoa học và thực tiễn thường gặp các bài toán cực trị (cực tiểu hay
cực đại). Nguyên lý Lagrange tạo cơ sở lý thuyết cho nhiều phương pháp giải
các bài toán này, đặc biệt là các bài toán với ràng buộc đẳng thức. Luận văn đã
tìm hiểu và trình bày nguyên lý Lagrange trong lý thuyết các bài toán cực trị và
áp dụng nguyên lý này để tìm nghiệm cực tiểu (cực đại) của một số bài toán cực
trị có ràng buộc đẳng thức.
Luận văn đã trình bày những nội dung chính sau đây:
1. Một số kiến thức cơ bản về bài toán cực trị có hay không có ràng buộc:
sự tồn tại nghiệm của bài toán và các điều kiện tối ưu không ràng buộc.
2. Kết quả lý thuyết về điều kiện cần và điều kiện đủ trong tối ưu phi tuyến
với ràng buộc đẳng thức. Phương pháp nhân tử Lagrange đưa bài toán với ràng
buộc đẳng thức về bài toán không ràng buộc và ví dụ minh họa cho phương
pháp nhân tử Lagrange.
3. Ứng dụng nguyên lý Lagrange vào tìm nghiệm cực tiểu (cực đại) của
một số bài toán cực trị, chủ yếu là bài toán với ràng buộc đẳng thức. Đặc biệt là
các bài toán quen thuộc trong số học và hình học, bài toán về bất đẳng thức, bài
toán về khoảng cách, bài toán Steiner.
Có thể xem luận văn như bước tìm hiểu ban đầu về nguyên lý Lagrange và
các ứng dụng của nguyên lý này vào giải các bài toán cực trị. Tác giả luận văn
hy vọng sẽ có dịp được tìm hiểu và nghiên cứu sâu hơn về nhiều phương pháp
khác trong lý thuyết tối ưu hóa
Do Drive thay đổi chính sách, nên một số link cũ yêu cầu duyệt download. các bạn chỉ cần làm theo hướng dẫn.
Password giải nén nếu cần: ket-noi.com | Bấm trực tiếp vào Link để tải:
ỜI NÓI ĐẦU
Trong lý thuyết và ứng dụng ta thường gặp các bài toán cực trị (tìm cực đại
và cực tiểu). Khi giải một bài toán cực trị người ta thường tìm cách đưa nó về
các bài toán đơn giản hơn: với số biến hay số ràng buộc ít hơn, thậm chí không
có ràng buộc càng tốt. Ý tưởng này được thể hiện rõ nét trong phương pháp
nhân tử Lagrange và trong một số phương pháp tối ưu khác. Nguyên lý
Lagrange tạo cơ sở lý thuyết cho phương pháp nhân tử Lagrange giải bài toán
cực trị có ràng buộc, đặc biệt là các bài toán với ràng buộc đẳng thức.
Mục tiêu của luận văn này là tìm hiểu nguyên lý Lagrange trong lý thuyết
các bài toán cực trị, chủ yếu xét trong không gian hữu hạn chiều ℝn và ứng dụng
nguyên lý này vào việc tìm nghiệm (cực tiểu và cực đại) của các bài toán cực trị
có hay không có ràng buộc, đặc biệt là các bài toán quen thuộc trong số học và
hình học, nhằm nâng cao kiến thức và khả năng trong giảng dạy và nghiên cứu
về toán tối ưu nói riêng và toán ứng dụng nói chung.
Nội dung luận văn được viết trong ba chương.
Chương 1 “Bài toán cực trị” trình bày khái quát về bài toán cực trị có hoặc
không có ràng buộc, nhắc lại các khái niệm về nghiệm cực tiểu (cực đại) địa
phương (toàn cục), sự tồn tại nghiệm của bài toán, các điều kiện đòi hỏi nghiệm
bài toán cần thỏa mãn (điều kiện cần và điều kiện đủ), dựa vào đó tìm nghiệm
tối ưu của bài toán.
Chương 2 “Nguyên lý Lagrange” trình bày kết quả lý thuyết về điều kiện
cần tối ưu (cấp 1, cấp 2) và điều kiện đủ tối ưu (cấp 2) cho nghiệm cực tiểu địa
phương của bài toán qui hoạch phi tuyến với ràng buộc đẳng thức và trình bày
phương pháp nhân tử Lagrange đưa bài toán có ràng buộc đẳng thức về bài toán
(không ràng buộc) của hàm Lagrange (bằng hàm mục tiêu ban đầu cộng với các
hàm ràng buộc, sau khi đã nhân với các hệ số gọi là các nhân tử Lagrange).
2
Chương 3 “Áp dụng giải bài toán cực trị” trình bày các ứng dụng của
nguyên lý Lagrange vào việc tìm nghiệm cực tiểu hay cực đại của một số bài
toán cực trị, chủ yếu là bài toán với ràng buộc đẳng thức. Đặc biệt xét các bài
toán quen thuộc trong số học và hình học, bài toán về chứng minh các bất đẳng
thức, bài toán về khoảng cách, bài toán Steiner. Đây là những bài toán có ý
nghĩa thực tế, được các nhà toán học nổi tiếng đề ra hay nêu cách giải. Qua đó
giới thiệu một số ứng dụng của lý thuyết tối ưu trong thực tiễn.
Do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên chắc chắn luận văn này còn có
những thiếu sót nhất định, kính mong quí thầy cô và các bạn đóng góp ý kiến để
tác giả tiếp tục hoàn thiện luận văn sau này.
Nhân dịp này tác giả luận văn xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS-TS
Trần Vũ Thiệu, Viện Toán học - Viện Hàn Lâm Khoa học và Công nghệ Việt
Nam đã tận tình chỉ bảo, giúp đỡ tui trong quá trình làm luận văn.
Bên cạnh đó tui cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến ban giám hiệu trường Đại
học Khoa học Thái Nguyên, Khoa Toán - Tin, Trung tâm học liệu Đại học Thái
Nguyên đã tận tình động viên, tạo điều kiện giúp đỡ tui trong thời gian học tập
và làm luận văn.
tui xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Viện Toán học - Viện Hàn Lâm
Khoa học và Công nghệ Việt Nam đã tạo điều kiện thuận lợi cho tui trong thời
gian học tập nghiên cứu.
tui xin gửi lời Thank chân thành đến những người thân trong gia đình,
bạn bè và đồng nghiệp về những sự quan tâm, động viên và giúp đỡ tui trong
thời gian qua.
Thái Nguyên, ngày 09 tháng 3 năm 2014
Học viên
Nguyễn Thành Công
3
Chương 1
BÀI TOÁN CỰC TRỊ
Chương này nhắc lại một số khái niệm cơ bản về bài toán cực trị có hoặc
không có ràng buộc, các khái niệm nghiệm cực tiểu (cực đại) địa phương (toàn
cục), sự tồn tại nghiệm của bài toán, các điều kiện đòi hỏi nghiệm bài toán cần
thỏa mãn (điều kiện tối ưu cần và đủ). Nội dung của chương được tham khảo
chủ yếu từ các tài liệu [1], [2], [4] và [6].
1.1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.1.1. Ví dụ về bài toán cực trị
Các bài toán cực trị đã biết từ bậc phổ thông. Để làm ví dụ, ta xét hai bài
toán quen thuộc trong hình học phẳng.
Bài toán 1 (Bài toán Heron). Tìm trên đường thẳng đã cho một điểm sao
cho tổng khoảng cách từ điểm đó tới hai điểm cho trước là nhỏ nhất? (Hình 1.1).
Bài toán 2. Vẽ nội tiếp trong hình tròn một hình chữ nhật có diện tích lớn
nhất? (Hình 1.2).
Hình 1.1 Hình 1.2
Bài toán 1 tìm cực tiểu (minimum), bài toán 2 tìm cực đại (maximum). Cực
tiểu và cực đại được gọi chung là cực trị (extremum). Đôi khi người ta dùng từ
tối ưu (optimization), nghĩa là tốt nhất hay hoàn hảo nhất. Như vậy, bài toán 1
và 2 là các bài toán cực trị hay bài toán tối ưu. Lý thuyết các bài toán tìm giá trị
nhỏ nhất (lớn nhất) của hàm gọi là lý thuyết bài toán cực trị hay lý thuyết tối ưu.
0 x
y
r
(x, y)
0
A (0, a)
B (d, b)
Cˆ ( xˆ , 0) C (x, 0)
y
x1 2
A'(0,- a)
4
Các bài toán 1 và 2 được mô tả bằng lời, không dùng công thức. Các bài
toán cực trị nảy sinh từ các lĩnh vực khoa học hay từ thực tiễn thường như vậy:
chúng được mô tả bằng lời theo thuật ngữ có nội dung của lĩnh vực nảy sinh ra
các bài toán đó. Để có thể áp dụng được lý thuyết tối ưu thì cần chuyển bài toán
sang ngôn ngữ toán học. Cách làm này gọi là hình thức hóa bài toán. Cùng một
bài toán có thể được hình thức hóa theo nhiều cách khác nhau và cách giải có
đơn giản và hiệu qủa hay không thường phụ thuộc rất nhiều vào mức độ thành
công của sự hình thức hóa đó. Ta hình thức hóa bài toán 1 và 2 như sau.
Bài toán 1: Vẽ trục Ox dọc theo đường thẳng đã cho và trục Oy vuông góc
đi qua điểm A (xem Hình 1.1). Giả sử tọa độ của hai điểm đã cho là: A = (0, a)
và B = (d, b); tọa độ của điểm cần tìm C = (x, 0). Khoảng cách từ A tới C và từ B
tới C lần lượt là |AC| = 22 xa và |BC| = 22 )xd(b . Từ đó, ta đi đến bài
toán: Tìm cực tiểu của hàm một biến
f(x) = 22 xa + 22 )xd(b với x ∈ ℝ.
Bài toán 2: Giả sử đường tròn được mô tả bởi phương trình x2 + y2 = r2, Vẽ
các trục Ox và Oy song song với các cạnh hình chữ nhật và ký hiệu (x, y) là tọa
độ của đỉnh hình chữ nhật nằm ở góc phần tư thứ nhất (xem Hình 1.2). Khi đó
diện tích hình chữ nhật bằng 4xy.
Hình 3.5. Bài toán Steiner mở rộng
Bài toán 3.4.3. Tìm trong mặt phẳng một điểm sao cho tổng khoảng cách
từ điểm đó tới bốn điểm khác nhau đã đánh giá là nhỏ nhất?
Đáp án. Nếu các điểm tạo thành một tứ giác lồi thì điểm cần tìm là giao
điểm hai đường chéo của tứ giác; còn nếu tứ giác nhận được không lồi thì điểm
cần tìm là đỉnh ứng với góc lớn nhất.
Bài toán 3.4.4. Tìm trong mặt phẳng một điểm sao cho tổng khoảng cách
từ điểm đó tới các đỉnh của một đa giác đều cho trước là nhỏ nhất?
30o
m3 m2
m1
90o
60o
120o
x3x2
x1
90o
150o
47
Đáp án. Tâm của đa giác.
Tóm lại, chương này đã trình bày một số dạng bài toán tối ưu có thể áp
dụng nguyên lý Lagrange để giải. Qua đó giới thiệu một số ứng dụng của lý
thuyết tối ưu trong thực tiễn.
48
KẾT LUẬN
Trong khoa học và thực tiễn thường gặp các bài toán cực trị (cực tiểu hay
cực đại). Nguyên lý Lagrange tạo cơ sở lý thuyết cho nhiều phương pháp giải
các bài toán này, đặc biệt là các bài toán với ràng buộc đẳng thức. Luận văn đã
tìm hiểu và trình bày nguyên lý Lagrange trong lý thuyết các bài toán cực trị và
áp dụng nguyên lý này để tìm nghiệm cực tiểu (cực đại) của một số bài toán cực
trị có ràng buộc đẳng thức.
Luận văn đã trình bày những nội dung chính sau đây:
1. Một số kiến thức cơ bản về bài toán cực trị có hay không có ràng buộc:
sự tồn tại nghiệm của bài toán và các điều kiện tối ưu không ràng buộc.
2. Kết quả lý thuyết về điều kiện cần và điều kiện đủ trong tối ưu phi tuyến
với ràng buộc đẳng thức. Phương pháp nhân tử Lagrange đưa bài toán với ràng
buộc đẳng thức về bài toán không ràng buộc và ví dụ minh họa cho phương
pháp nhân tử Lagrange.
3. Ứng dụng nguyên lý Lagrange vào tìm nghiệm cực tiểu (cực đại) của
một số bài toán cực trị, chủ yếu là bài toán với ràng buộc đẳng thức. Đặc biệt là
các bài toán quen thuộc trong số học và hình học, bài toán về bất đẳng thức, bài
toán về khoảng cách, bài toán Steiner.
Có thể xem luận văn như bước tìm hiểu ban đầu về nguyên lý Lagrange và
các ứng dụng của nguyên lý này vào giải các bài toán cực trị. Tác giả luận văn
hy vọng sẽ có dịp được tìm hiểu và nghiên cứu sâu hơn về nhiều phương pháp
khác trong lý thuyết tối ưu hóa
Do Drive thay đổi chính sách, nên một số link cũ yêu cầu duyệt download. các bạn chỉ cần làm theo hướng dẫn.
Password giải nén nếu cần: ket-noi.com | Bấm trực tiếp vào Link để tải:
You must be registered for see links