Download miễn phí Dùng phương pháp sai phân để giải bài toán biên đối với phương trình vi phân cấp bốn tổng quát một cách chi tiết
Lời nói đầu 1
Chương 1: Khái niệm mở đầu về phương pháp sai phân 3
1.1. Mở đầu. 3
1.2. Khái niệm bài toán biên. 3
1.3. Bài toán vi phân. 4
1.4. Lưới sai phân. 4
1.5. Hàm lưới. 4
1.6. Đạo hàm lưới. 5
1.7. Qui ước viết vô cùng bé. 5
1.8. Công thức Taylor. 6
1.9. Liên hệ giữa đạo hàm và đạo hàm lưới. 7
1.10. Phương pháp sai phân 8
1.11. Giải bài toán sai phân bằng phương pháp truy đuổi 8
1.11.1. Phương pháp truy đuổi từ phải 9
1.11.2. Phương pháp truy đuổi từ trái 11
1.12. Sự ổn định của bài toán sai phân 11
1.13. Sự xấp xỉ 12
1.14. Sự hội tụ 13
1.15. Trường hợp điều kiện biên loại b 14
Chương 2: Phương pháp sai phân giải gần đúng phương trình vi phân cấp bốn 18
1.3. Hàm lưới. 20
1.4. Đạo hàm lưới. 20
1.5. Phương pháp sai phân 21
1.6. Cách giải bài toán sai phân (I). 29
1.6.1. Phương pháp truy đuổi. 29
1.6.1.1. Phương pháp truy đuổi từ phải. 29
1.6.1.2. Phương pháp truy đuổi từ trái. 33
2.6.2. Phương pháp lặp Seidel co dãn 39
2.7. Sự xấp xỉ 40
2.8. Sự ổn định của bài toán sai phân 40
2.9. Bài toán sai phân đối với sai số 48
2.10.Sự hội tụ và sai số 49
Để tải tài liệu này, vui lòng Trả lời bài viết, Mods sẽ gửi Link download cho bạn ngay qua hòm tin nhắn.
Ketnooi -
You must be registered for see links
Ai cần tài liệu gì mà không tìm thấy ở Ketnooi, đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí
Tóm tắt nội dung tài liệu:
nhiều hệ đại số tuyến tính. Trong phương pháp này miền trong đó ta tìm nghiệm của phương trình thường được phru bằng một lưới gồm một số hữu hạn điểm (nút), còn các đạo hàm trong phương trình được thay bằng các sai phân tương ứng của các giá trị của hàm tại các nút lưới.
Đồ án được chia thành các chương như sau:
Chương 1: Trình bày những khái niệm cơ bản cảu phương pháp sai phân tổng thông qua bài toán biến đổi với phương trình vi phân cấp hai.
Chương 2: Dùng phương pháp sai phân để giải bài toán biên đối với phương trình vi phân cấp bốn tổng quát một cách chi tiết.
Phần phụ lục ở cuối là chương trình và ví dụ minh hoạ.
Do hạn chế về thời gian cũng như khả năng bản thân nên đồ án còn thiếu xót. Rất mong được sự thông cảm và đóng góp ý kiến của thầy cô và các bạn.
Chương 1
Khái niệm mở đầu về phương pháp sai phân
1.1. Mở đầu.
Trong chương này để trình bày những khái niệm cơ bản của phương pháp sai phân ta sẽ xét bài toán biên đối với phương trình vi phân cấp hai.
1.2. Khái niệm bài toán biên.
Bài toán biên có phương trình vi phân cấp lớn hơn hay bằng hai và điều kiện bốung được cho tại nhiều hơn một điểm.
Chẳng hạn bài toán biên đối với phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có dạng:
[p(x)y'(x)k]' - q(x) y(x) = -f(x) a < x < b
y(a) = a; y(b) = b
Bài toán trên được gọi là bài toán biênloại một.
Nếu điều kiện biên y(a) = a; y(b) = b được thay thế bởi điều kiện biên:
-p(a)y'(a) + s1y(a) = a; p(b) y'(b) + s2y(b) =b thì ta có bài toán biên loại ba nếu s1 ³ 0; s2 ³ 0; s1 +s2 > 0. Còn nếu s1 = s2 = 0 thì ta có bài toán biên loại hai.
Trong thực tế tat còn gặp những bài toán mà tại x = a và x = b có điều kiện biên khác nhau (chẳng hạn tại x = a ta có điều kiện biên loại một còn tại x = b ta có điều kiện biên loại hai hay ba) khi đó ta có bài toán biên hỗn hợp.
Sau đây ta sẽ xem xét các khái niệm về phương pháp sai phân thông qua bài toán biên loại một.
1.3. Bài toán vi phân.
Cho hai số a và b với a < b. Tìm hàm y = y(x) xác định tại a < x < b thoả mãn:
Ly = -(py')' + qy = f(x) (1.1)
y(a) = a, y(b) = b (1.2)
Trong đó p = p(x), q = q(x), f(x) là những hàm số cho trước đủ trơn thoả mãn:
0 < c0Ê p(x) Ê c1, c0, c1 = const, q(x) ³ 0.
còn a, b là những số cho trước.
Giả sử bài toán (1.1) - (1.2) có nghiệm duy nhất y đủ trơn để [a, b].
1.4. Lưới sai phân.
Ta chia đoạn [a, b] thành N đoạn con bằng nhau, mỗi đoạn con dài h= (b - a)/N bởi các điểm xi = a + ih, i = 0, 1, …, N. Mỗi điểm xi gọi là một nút lưới, h gọi là bước lưới.
Tập Wh = {xi, 1 Ê i Ên - 1} gọi là tập các nút trong.
Tập Gh = {x0, xn gọi là tập các nút biên.
Tập gọi là một lưới trên [a, b].
a=x0
x1
xi
xN = b
1.5. Hàm lưới.
Đó là những hàm số xác định tại các nút của lưới . Giá trị của hàm lưới n tại nút xi viết là ni.
Một hàm số y(x) xác định tại mọi x ẻ [a, b] sẽ tạo ra hàm lưới y có giá trị tại nút xi là yi = y(xi).
1.6. Đạo hàm lưới.
Xét hàm lưới n. Đạo hàm lưới tiến cấp một của n. Ký hiệu là nx, có giá trị tại nút xi là:
nxi =
Đạo hàm lưới lùi cấp một của n , ký hiệu là , có giá trị tại nút xi là:
Sau đây ta sẽ thấy rằng khi h bé thì đạo hàm lưới "xấp xỉ" được đạo hàm thường (xem các công thức (1.5), (1.6), (1.7)).
Do đó có đạo hàm lưới cấp hai :
Nếu a là một hàm lưới thì:
1.7. Qui ước viết vô cùng bé.
Khái niệm "xấp xỉ" liên quan đến khái niệm vô cùng bé. Để viết các vô cùng bé một cách đơn giản ta sẽ áp dụng qui ước sau đây:
Giả sử đại lượng r(h) là một vô cùng bé khi h đ 0. Nếu tồn tại số a > 0 và hằng số M > 0 không phụ thuộc h sao cho:
Thì ta viết:
r(h)= O(ha)
Viết như trên có nghĩa là: khi h nhỏ thì r(h) là một đại lượng nhỏ và khi h đ 0 thì r(h) tiến đến số 0 không chậm hơn Mha.
1.8. Công thức Taylor.
Ta nhắc lại công thức Taylor ở đây vì nó là công thức quan trọng được sử dụng để xấp xỉ bài toán vi phân bởi bài toán sai phân.
Giả sử F(x) là một hàm số xác định và có đạo hàm đến cấp m + 1 trong một khoảng (a, b) chứa x và x + Dx có thể dương hay âm. Khi đó theo công htức Taylor ta có:
F(x+Dx)=F(x)+DxF'(x)+(1.3)
Trong đó c là một điểm ở trong khoảng từ x đến x + Dx.
Có thể viết: c = x + qDx với 0 < q < 1.
Ta giả thiết thêm:
Khi đó là một vô cùng bé khi Dx đ 0. Tức là tồn tại hằng số K > 0 không phụ thuộc vào Dx sao cho:
Công thức Taylor ở trên có thể viết gọn hơn như sau:
F(x+Dx) = F(x)+DxF'(x) + (1.4)
1.9. Liên hệ giữa đạo hàm và đạo hàm lưới.
Giả sử hàm y(x) đủ trơn. Theo công thức Taylor (1.4) ta có:
Ta suy ra
(1.5)
(1.6)
Ngoài ra với quy ước
Ta còn
Ta suy ra
Do đó
(1.7)
Đồng thời
(1.8)
1.10. Phương pháp sai phân
Ta tìm cách tính gần đúng giá trị của nghiệm đúng y(xi) tại các nút . Gọi là các giá trị gần đúng đó là ni. Muốn có ni ta thay bài toán vi phân (1.1) - (1.2) bởi bài toán sai phân:
(1.9)
n0 = a, nN =b (1.10)
trong đó: ai = p(xi - h/2), qi = q(xi), fi = f(xi)
1.11. Giải bài toán sai phân (1.9) - (1.10) bằng phương pháp truy đuổi
Viết cụ thể bài toán (1.9) - (1.10) ta có:
(1.11)
(1.12)
Đó là một hệ số tuyến tính dạng ba đường chéo có thể giải bằng phương pháp truy đuổi.
Xét hệ đường chéo tổng quát
(1.13)
(1.14)
Trong đó
(1.15)
(1.16)
Như vậy hệ (1.11) - (1.12) là trường hợp riêng của hệ (1.13) - (1.14) khi:
1.11.1. Phương pháp truy đuổi từ phải
Ta tìm nghiệm của hệ (1.13) - (1.14) ở dạng
(1.17)
Khi đã biết các ai và bi thì (1.17) cho phép tính các yi lùi từ phải sang trái. Vì lẽ đó phương pháp mang tên phương pháp truy đuổi từ phải.
Để tính các ai, bi ta viết (1.17) trong đó thay i bởi i -1.
Thay này vào (1.13), ta được:
(1.18)
Do
Ci - Aiai ạ 0 (1.18)
Điều kiện này được thoả mãn nhờ giả thiết (1.15) - (1.16). Vì ta có:
Theo giả thiết (1.16), ta có do đó:
C1 - A1a1 ³ A1 + B1 - A1a1 = B1 + (1 - a1) A1 ³ B1 > 0
ị 0 < a2 =
Một cách tương tự, giả sử 0 < a1 Ê 1, i = 2,…k. Ta chứng minh đúng với i = k + 1. Điều này rõ ràng vì
Ta suy ra:
Giả thiết (1.15) - (1.16) cũng là điều kiện đảm bảo cho công thức truy đuổi ổn định.
Với điều kiện (1.19) thì (1.18) cho:
Đối chiếu với (1.17), ta suy ra
(1.20)
Tại i = 0, công thức (1.17) viết
(1.21)
Sau đó từ (1.20) cho phép tính tất cả các ai, bi.
Bây giờ công thức (1.17) tại i = N - 1 viết
Kết hợp với công thức thứ hai của (1.14), ta được.
(1.12)
Do giả thiết (1.16) và các 0 0. Suy ra (1.22) cho:
Sau đó (1.17) cho phép tính ra các yi, i = N - 1, N - 2,…0.
Vậy thuật toán:
1.11.2. Phương pháp truy đuổi từ trái
Ta tìm nghiệm ở dạng
Ta có thuật toán sau:
1.12. Sự ổn định của bài toán sai phân
Trước hết để đo độ lớn của hàm lưới và hàm lưới f = (f1, f2,…,fN-1) , ta sử dụng các chuẩn.
(1.24)
Định nghĩa. Nói bài toán sai phân (1.9) - (1.10) là bài toán ổn định nếu nó có nghiệm duy nhất với mọi vế phải và điều kiện biên, đồng thời nghiệm thoả mãn:
(1.25)
ý nghĩa của bài toán ổn định là:
Bài toán sai phân có nghiệm duy nhất, đồng thời nghiệm đó phụ thuộc liên tục vào vế phải của phương trình sai phân và điều kiện biên, nghĩa là khi vế phải của phương trình sai phân và điều kiện biên thay đổi ít thì nghiệm cũng thay đổi ít.
Bất đẳng thức (1.25) nói lên ý nghĩa đó, ta gọi đó là bất đẳng thức ổn định của bài toán (1.9) - (1.10).
1.13. Sự xấp xỉ
Bằng công th
Đồ án được chia thành các chương như sau:
Chương 1: Trình bày những khái niệm cơ bản cảu phương pháp sai phân tổng thông qua bài toán biến đổi với phương trình vi phân cấp hai.
Chương 2: Dùng phương pháp sai phân để giải bài toán biên đối với phương trình vi phân cấp bốn tổng quát một cách chi tiết.
Phần phụ lục ở cuối là chương trình và ví dụ minh hoạ.
Do hạn chế về thời gian cũng như khả năng bản thân nên đồ án còn thiếu xót. Rất mong được sự thông cảm và đóng góp ý kiến của thầy cô và các bạn.
Chương 1
Khái niệm mở đầu về phương pháp sai phân
1.1. Mở đầu.
Trong chương này để trình bày những khái niệm cơ bản của phương pháp sai phân ta sẽ xét bài toán biên đối với phương trình vi phân cấp hai.
1.2. Khái niệm bài toán biên.
Bài toán biên có phương trình vi phân cấp lớn hơn hay bằng hai và điều kiện bốung được cho tại nhiều hơn một điểm.
Chẳng hạn bài toán biên đối với phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có dạng:
[p(x)y'(x)k]' - q(x) y(x) = -f(x) a < x < b
y(a) = a; y(b) = b
Bài toán trên được gọi là bài toán biênloại một.
Nếu điều kiện biên y(a) = a; y(b) = b được thay thế bởi điều kiện biên:
-p(a)y'(a) + s1y(a) = a; p(b) y'(b) + s2y(b) =b thì ta có bài toán biên loại ba nếu s1 ³ 0; s2 ³ 0; s1 +s2 > 0. Còn nếu s1 = s2 = 0 thì ta có bài toán biên loại hai.
Trong thực tế tat còn gặp những bài toán mà tại x = a và x = b có điều kiện biên khác nhau (chẳng hạn tại x = a ta có điều kiện biên loại một còn tại x = b ta có điều kiện biên loại hai hay ba) khi đó ta có bài toán biên hỗn hợp.
Sau đây ta sẽ xem xét các khái niệm về phương pháp sai phân thông qua bài toán biên loại một.
1.3. Bài toán vi phân.
Cho hai số a và b với a < b. Tìm hàm y = y(x) xác định tại a < x < b thoả mãn:
Ly = -(py')' + qy = f(x) (1.1)
y(a) = a, y(b) = b (1.2)
Trong đó p = p(x), q = q(x), f(x) là những hàm số cho trước đủ trơn thoả mãn:
0 < c0Ê p(x) Ê c1, c0, c1 = const, q(x) ³ 0.
còn a, b là những số cho trước.
Giả sử bài toán (1.1) - (1.2) có nghiệm duy nhất y đủ trơn để [a, b].
1.4. Lưới sai phân.
Ta chia đoạn [a, b] thành N đoạn con bằng nhau, mỗi đoạn con dài h= (b - a)/N bởi các điểm xi = a + ih, i = 0, 1, …, N. Mỗi điểm xi gọi là một nút lưới, h gọi là bước lưới.
Tập Wh = {xi, 1 Ê i Ên - 1} gọi là tập các nút trong.
Tập Gh = {x0, xn gọi là tập các nút biên.
Tập gọi là một lưới trên [a, b].
a=x0
x1
xi
xN = b
1.5. Hàm lưới.
Đó là những hàm số xác định tại các nút của lưới . Giá trị của hàm lưới n tại nút xi viết là ni.
Một hàm số y(x) xác định tại mọi x ẻ [a, b] sẽ tạo ra hàm lưới y có giá trị tại nút xi là yi = y(xi).
1.6. Đạo hàm lưới.
Xét hàm lưới n. Đạo hàm lưới tiến cấp một của n. Ký hiệu là nx, có giá trị tại nút xi là:
nxi =
Đạo hàm lưới lùi cấp một của n , ký hiệu là , có giá trị tại nút xi là:
Sau đây ta sẽ thấy rằng khi h bé thì đạo hàm lưới "xấp xỉ" được đạo hàm thường (xem các công thức (1.5), (1.6), (1.7)).
Do đó có đạo hàm lưới cấp hai :
Nếu a là một hàm lưới thì:
1.7. Qui ước viết vô cùng bé.
Khái niệm "xấp xỉ" liên quan đến khái niệm vô cùng bé. Để viết các vô cùng bé một cách đơn giản ta sẽ áp dụng qui ước sau đây:
Giả sử đại lượng r(h) là một vô cùng bé khi h đ 0. Nếu tồn tại số a > 0 và hằng số M > 0 không phụ thuộc h sao cho:
Thì ta viết:
r(h)= O(ha)
Viết như trên có nghĩa là: khi h nhỏ thì r(h) là một đại lượng nhỏ và khi h đ 0 thì r(h) tiến đến số 0 không chậm hơn Mha.
1.8. Công thức Taylor.
Ta nhắc lại công thức Taylor ở đây vì nó là công thức quan trọng được sử dụng để xấp xỉ bài toán vi phân bởi bài toán sai phân.
Giả sử F(x) là một hàm số xác định và có đạo hàm đến cấp m + 1 trong một khoảng (a, b) chứa x và x + Dx có thể dương hay âm. Khi đó theo công htức Taylor ta có:
F(x+Dx)=F(x)+DxF'(x)+(1.3)
Trong đó c là một điểm ở trong khoảng từ x đến x + Dx.
Có thể viết: c = x + qDx với 0 < q < 1.
Ta giả thiết thêm:
Khi đó là một vô cùng bé khi Dx đ 0. Tức là tồn tại hằng số K > 0 không phụ thuộc vào Dx sao cho:
Công thức Taylor ở trên có thể viết gọn hơn như sau:
F(x+Dx) = F(x)+DxF'(x) + (1.4)
1.9. Liên hệ giữa đạo hàm và đạo hàm lưới.
Giả sử hàm y(x) đủ trơn. Theo công thức Taylor (1.4) ta có:
Ta suy ra
(1.5)
(1.6)
Ngoài ra với quy ước
Ta còn
Ta suy ra
Do đó
(1.7)
Đồng thời
(1.8)
1.10. Phương pháp sai phân
Ta tìm cách tính gần đúng giá trị của nghiệm đúng y(xi) tại các nút . Gọi là các giá trị gần đúng đó là ni. Muốn có ni ta thay bài toán vi phân (1.1) - (1.2) bởi bài toán sai phân:
(1.9)
n0 = a, nN =b (1.10)
trong đó: ai = p(xi - h/2), qi = q(xi), fi = f(xi)
1.11. Giải bài toán sai phân (1.9) - (1.10) bằng phương pháp truy đuổi
Viết cụ thể bài toán (1.9) - (1.10) ta có:
(1.11)
(1.12)
Đó là một hệ số tuyến tính dạng ba đường chéo có thể giải bằng phương pháp truy đuổi.
Xét hệ đường chéo tổng quát
(1.13)
(1.14)
Trong đó
(1.15)
(1.16)
Như vậy hệ (1.11) - (1.12) là trường hợp riêng của hệ (1.13) - (1.14) khi:
1.11.1. Phương pháp truy đuổi từ phải
Ta tìm nghiệm của hệ (1.13) - (1.14) ở dạng
(1.17)
Khi đã biết các ai và bi thì (1.17) cho phép tính các yi lùi từ phải sang trái. Vì lẽ đó phương pháp mang tên phương pháp truy đuổi từ phải.
Để tính các ai, bi ta viết (1.17) trong đó thay i bởi i -1.
Thay này vào (1.13), ta được:
(1.18)
Do
Ci - Aiai ạ 0 (1.18)
Điều kiện này được thoả mãn nhờ giả thiết (1.15) - (1.16). Vì ta có:
Theo giả thiết (1.16), ta có do đó:
C1 - A1a1 ³ A1 + B1 - A1a1 = B1 + (1 - a1) A1 ³ B1 > 0
ị 0 < a2 =
Một cách tương tự, giả sử 0 < a1 Ê 1, i = 2,…k. Ta chứng minh đúng với i = k + 1. Điều này rõ ràng vì
Ta suy ra:
Giả thiết (1.15) - (1.16) cũng là điều kiện đảm bảo cho công thức truy đuổi ổn định.
Với điều kiện (1.19) thì (1.18) cho:
Đối chiếu với (1.17), ta suy ra
(1.20)
Tại i = 0, công thức (1.17) viết
(1.21)
Sau đó từ (1.20) cho phép tính tất cả các ai, bi.
Bây giờ công thức (1.17) tại i = N - 1 viết
Kết hợp với công thức thứ hai của (1.14), ta được.
(1.12)
Do giả thiết (1.16) và các 0 0. Suy ra (1.22) cho:
Sau đó (1.17) cho phép tính ra các yi, i = N - 1, N - 2,…0.
Vậy thuật toán:
1.11.2. Phương pháp truy đuổi từ trái
Ta tìm nghiệm ở dạng
Ta có thuật toán sau:
1.12. Sự ổn định của bài toán sai phân
Trước hết để đo độ lớn của hàm lưới và hàm lưới f = (f1, f2,…,fN-1) , ta sử dụng các chuẩn.
(1.24)
Định nghĩa. Nói bài toán sai phân (1.9) - (1.10) là bài toán ổn định nếu nó có nghiệm duy nhất với mọi vế phải và điều kiện biên, đồng thời nghiệm thoả mãn:
(1.25)
ý nghĩa của bài toán ổn định là:
Bài toán sai phân có nghiệm duy nhất, đồng thời nghiệm đó phụ thuộc liên tục vào vế phải của phương trình sai phân và điều kiện biên, nghĩa là khi vế phải của phương trình sai phân và điều kiện biên thay đổi ít thì nghiệm cũng thay đổi ít.
Bất đẳng thức (1.25) nói lên ý nghĩa đó, ta gọi đó là bất đẳng thức ổn định của bài toán (1.9) - (1.10).
1.13. Sự xấp xỉ
Bằng công th