xs_os_xxx183
New Member
Download Đề tài Các định lý giới hạn của tổng ngẫu nhiên các biến ngẫu nhiên và ứng dụng
Mục lục
Tóm tắt kết quả đăng ký 1
1 Tổng quan những vấn đề nghiên cứu 7
1.1 Các định lý giới hạn cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Tốc độ hội tụ trong các định lý giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Toán tử Trotter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Dáng điệu tiệm cận của tổng ngẫu nhiên các biến ngẫu nhiên độc lập 15
2.1 Đặt vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Tổng ngẫu nhiên các biến ngẫu nhiên độc lập . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Các đánh giá qua khoảng cách Trotter 21
3.1 Khoảng cách xác suất Trotter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Đánh giá tốc độ hội tụ trong Luật yếu các số lớn . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3 Tốc độ hội tụ các định lý giới hạn của tổng ngẫu nhiên qua khoảng cách
Trotter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.4 Đánh giá khoảng cách xác suất Trotter của hai tổng các vectơ ngẫu nhiên
độc lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.5 Đánh giá khoảng cách Trotter đối với hai tổng ngẫu nhiên các véc tơ ngẫu
nhiên độc lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.6 Tâm của một biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4 Một số ứng dụng trong thống kê và mô phỏng Monte Carlo 37
4.1 Hàm phân phối xác suất dạng khi bình phương với chỉ số ngẫu nhiên . . . 37
4.2 Một số bài toán ước lượng tham số tổng thể qua các ước tử là tổng ngẫu
nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Kết luận và kiến nghị 53
Tài liệu tham khảo 56
Để tải bản DOC Đầy Đủ xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí
t∈R
{∣∣∣∣Ef(X + t)− Ef(Y + t)∣∣∣∣}, (3.1.1)
ở đây f ∈ CrB(R).
Chú ý rằng định nghĩa trong 3.1.1 cho thấy khoảng cách xác suất Trotter được xác
định qua chuẩn của hiệu hai toán tử Trotter tương ứng với các biến ngẫu nhiên X và Y.
dT (X, Y ; f) =‖ TXf − TY f ‖ .
Lưu ý rằng năm 1989 H. Kirschfink trong [30] cũng đã đề cập tới khoảng cách Trotter
được xây dựng trên cơ sở toán tử Trotter tổng quát (qua khái niệm kỳ vọng có điều kiện),
21
mối quan hệ của nó với các khoảng cách xác suất cổ điển và sử dụng nó trong nghiên cứu
các định lý giới hạn cho các biến ngẫu nhiên phụ thuộc (xem chi tiết trong [30]).
Các tính chất quan trọng của khoảng cách Trotter được xét dưới đây. Các chứng minh
chi tiết nhận được dễ dàng nhờ các tính chất của toán tử Trotter (xem chi tiết trong [30],
[17] và [18]).
1. Khoảng cách dT (X, Y ; f) là một khoảng cách xác suất.
2. Nếu dT (X, Y ; f) = 0 với f ∈ CrB(R), thì FX ≡ FY .
3. Giả sử {Xn, n ≥ 1} là một dãy các biến ngẫu nhiên và X là một biến ngẫu nhiên
xác định trên cùng một không gian xác suất. Khi đó,
Xn
w−→ X, khi n→ ∞
nếu
lim
n→+∞
dT (Xn, X; f) = 0, với f ∈ CrB(R).
4. Giả sử X1, X2, . . . , Xn, . . . và Y1, Y2, . . . , Yn, . . . là hai nhóm các biến ngẫu nhiên độc
lập. Khi đó, với f ∈ CrB(R)
dT
( n∑
j=1
Xj,
n∑
j=1
Yj; f
)
≤
n∑
j=1
dT
(
Xj, Yj; f
)
. (3.1.2)
5. Giả sử X1, X2, . . . , Xn, . . . và Y1, Y2, . . . , Yn, . . . là hai nhóm các biến ngẫu nhiên độc
lập, cùng phân phối. Khi đó, với f ∈ CrB(R)
dT
( n∑
j=1
Xj,
n∑
j=1
Yj; f
)
≤ ndT
(
X1, Y1; f
)
. (3.1.3)
6. Giả sử X1, X2, . . . , Xn, . . . và Y1, Y2, . . . , Yn, . . . là hai nhóm các biến ngẫu nhiên độc
lập. Ngoài ra, giả sử N là một biến ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên dương, độc lập
với các biến ngẫu nhiên trong hai nhóm X1, X2, . . . , Xn, . . . và Y1, Y2, . . . , Yn, . . . .
Khi đó, với f ∈ CrB(R)
dT
( N∑
j=1
Xj,
N∑
j=1
Yj; f
)
≤
∞∑
n=1
P (N = n)
n∑
j=1
dT
(
Xj, Yj; f
)
. (3.1.4)
Để kết thúc phần này, chúng ta lưu ý rằng quan hệ giữa các khoảng cách xác suất
Zolotarev và khoảng cách Trotter (xem chi tiết trong tài liệu [30] của H. Kirschfink)
sup
{
dT (X,Y ; f); f ∈ D1(s; r + 1;CB(R))
}
= dZ(X,Y )
cho thấy việc nghiên cứu khoảng cách xác suất dạng Trotter là cần thiết trong các bài
toán giới hạn của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập.
22
3.2 Đánh giá tốc độ hội tụ trong Luật yếu các số lớn
Phần này chúng tui sử dụng khoảng cách xác suất Trotter trong đánh giá tốc độ hội tụ
trong Luật yếu số lớn dạng Khintchin. Kết quả nhận được dưới đây có thể được so sánh
với kết quả của V. V. Petrov trong [39]. Phương pháp chứng minh được sử dụng tương tự
trong [15] và [18], dựa trên kết quả từ sự hội tụ của khoảng cách xác suất dT (Sn;X
0; f)
tới 0 khi n → ∞, sẽ dẫn tới sự hội yếu Sn w−→ X0, điều này lại cho phép Sn P−→ X0, khi
n→ ∞. Chính vì vậy mà mối quan tâm của chúng ta hiện nay là tốc độ hội tụ của khoảng
cách xác suất Trotter tới 0, khi n dần ra vô hạn,
dT (Sn;X
0; f) → 0 khi n→ +∞.
Chúng ta có kết quả sau.
Định lý 3.2.1. (xem [18]) Giả sử {Xn, n ≥ 1} là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập
cùng phân phối với kỳ vọng 0 và mô mem bậc r hữu hạn E(| Xj |r) < +∞ với r ≥ 1 và
với j = 1, 2, . . . n. Khi đó, với mọi f ∈ Cr(R), chúng ta có đánh giá sau
dT (Sn;X
0; f) = o(n−(r−1)), khi n→ +∞. (3.2.5)
Kết quả trên được mở rộng khi chỉ số n của tổng Sn được thay bởi một biến ngẫu
nhiên nhận giá trị nguyên dương. Giả sử {Nn;n ≥ 1} là một dãy các biến ngẫu nhiên
nhận giá trị nguyên dương, thỏa mãn
Nn
P−→ +∞, khi n→ +∞.
Ngoài ra, chúng ta cũng giả sử rằng Nn, n ≥ 1 độc lập với mọi biến ngẫu nhiên X1, X2, . . . .
Khi đó, chúng ta có thể ngẫu nhiên hóa kết quả của định lý trên.
Định lý 3.2.2. (xem [18]) Giả sử {Xn;n ≥ 1} là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập
cùng phân phối với kỳ vọng 0 và giả sử với r ≥ 1, j = 1, 2, . . . , E|Xj|r < +∞. Ngoài ra,
giả sử rằng {Nn;n ≥ 1} là một dãy các biến ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên dương, độc
lập với mọi biến ngẫu nhiên Xj, j = 1, 2, . . . n, thỏa mãn điều kiện
Nn
P−→ +∞ khi n→ +∞.
Khi đó, với mọi hàm f ∈ CrB(R), quan hệ
dT (SNn ;X
0; f) = o(E(Nn)
−(r−1)), khi n→ +∞ (3.2.6)
luôn đúng.
Chú ý rằng chứng minh nhanh chóng nhận được từ kết quả của Định lý 2.2.1, nếu ta
sử dụng bất đẳng thức (3.2.6).
23
Định lý 3.2.3. (xem [18]) Giả sử {Xn, n ≥ 1} là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập
cùng phân phối với trung bình 0 và 0 < D(Xj) = σ
2 ≤M2 < +∞, với mọi j = 1, 2, . . . n.
Khi đó, với mọi f ∈ CB(R), chúng ta có đánh giá
dT (Sn;X
0; f) ≤ (2 +M2)ω(f ;n− 12 ). (3.2.7)
Để kết thúc phần này, chúng ta có một số chú ý sau
Chú ý 3.2.1. 1. Trường hợp r = 1 từ (3.2.7) chúng ta sẽ có Luật yếu các số lớn dạng
Khincthin (xem [9]).
2. Khi r = 1, từ (3.3.8) chúng ta sẽ nhận được Luật yếu số lớn cho tổng ngẫu nhiên
các biến ngẫu nhiên độc lập (xem [21] và [25]).
3. Sử dụng tính chất ω(f ;n−
1
2 ) → 0 khi n → +∞, từ (3.3.9) chúng ta sẽ nhận được
Luật yếu các số lớn dạng Chebyshev.
3.3 Tốc độ hội tụ các định lý giới hạn của tổng ngẫu
nhiên qua khoảng cách Trotter
Phương pháp khoảng cách xác suất được sử dụng rộng rãi trong Lý thuyết xác suất,
nhất là trong các bài toán liên quan đến các định lý giới hạn (xem các tài liệu [1], [2],
[51]-[54], [15], [16], [17], [18]). Một trong số đó là khoảng cách Trotter được xây dựng trên
cơ sở toán tử Trotter trong [49]. Khoảng cách Trotter được dùng nhiều trong việc đánh giá
tốc độ hội tụ của luật số lớn và định lý giới hạn trung tâm của tổng các biến ngẫu nhiên
(xem [1], [2], [17]). Mục đích chính của phần này là thiết lập tốc độ hội tụ của một số định
lý giới hạn đối với tổng ngẫu nhiên các biến ngẫu nhiên độc lập SNn = X1 +X2 + . . . XNn
bằng phương pháp khoảng cách xác suất Trotter. Các kết quả nhận được là sự tiếp tục
và tổng quát các kết quả trong [19], [20]. Các kết quả chính của phần này đã được công
bố trong [21], vì vậy các chứng minh chi tiết sẽ được bỏ qua. Chú ý rằng trong suốt phần
này chỉ số ngẫu nhiên Nn, n ≥ 1 của tổng SNn luôn là các biến ngẫu nhiên nhận giá trị
nguyên dương, độc lập với mọi biến ngẫu nhiên độc lập X1, X2, . . . , Xn, . . . .
Trong các bài báo [19], [20] chúng tui đã đưa ra một số kết quả liên quan tới dáng
điệu tiệm cận của tổng ngẫu nhiên bằng phương pháp hàm đặc trưng. Dưới đây, ta sẽ
thiết lập một số kết quả về tốc độ hội tụ của tổng ngẫu nhiên qua khoảng cách Trotter.
Những kết quả này là sự cụ thể hóa cho các kết quả đã có của H. Robbins, W. Feller, B.
Gnhedenko và A. Renyi (xem các tài liệu [42], [9], [13], [14] và [41]). Các kết quả chính
của phần này được thể hiện qua các định lý dưới đây.
24
Định lý 3.3.1. Giả sử {Xn, n ≥ 1là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân
phối với kỳ vọng 0 và moment tuyệt đối cấp r+1 hữu hạn (r ≥ 2). Giả sử {Nn, n ≥ 1} là
một dãy các biến ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên dương, độc lập với mọi biến ngẫu nhiên
Xj, j = 1, 2, . . . Ngoài ra, giả sử ϕ : N → R+, là một hàm số không âm, xác định trên N
và thỏa mãn c...
Download miễn phí Đề tài Các định lý giới hạn của tổng ngẫu nhiên các biến ngẫu nhiên và ứng dụng
Mục lục
Tóm tắt kết quả đăng ký 1
1 Tổng quan những vấn đề nghiên cứu 7
1.1 Các định lý giới hạn cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Tốc độ hội tụ trong các định lý giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Toán tử Trotter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Dáng điệu tiệm cận của tổng ngẫu nhiên các biến ngẫu nhiên độc lập 15
2.1 Đặt vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Tổng ngẫu nhiên các biến ngẫu nhiên độc lập . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Các đánh giá qua khoảng cách Trotter 21
3.1 Khoảng cách xác suất Trotter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Đánh giá tốc độ hội tụ trong Luật yếu các số lớn . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3 Tốc độ hội tụ các định lý giới hạn của tổng ngẫu nhiên qua khoảng cách
Trotter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.4 Đánh giá khoảng cách xác suất Trotter của hai tổng các vectơ ngẫu nhiên
độc lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.5 Đánh giá khoảng cách Trotter đối với hai tổng ngẫu nhiên các véc tơ ngẫu
nhiên độc lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.6 Tâm của một biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4 Một số ứng dụng trong thống kê và mô phỏng Monte Carlo 37
4.1 Hàm phân phối xác suất dạng khi bình phương với chỉ số ngẫu nhiên . . . 37
4.2 Một số bài toán ước lượng tham số tổng thể qua các ước tử là tổng ngẫu
nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Kết luận và kiến nghị 53
Tài liệu tham khảo 56
Để tải bản DOC Đầy Đủ xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí
Tóm tắt nội dung:
(X, Y ; f) := supt∈R
{∣∣∣∣Ef(X + t)− Ef(Y + t)∣∣∣∣}, (3.1.1)
ở đây f ∈ CrB(R).
Chú ý rằng định nghĩa trong 3.1.1 cho thấy khoảng cách xác suất Trotter được xác
định qua chuẩn của hiệu hai toán tử Trotter tương ứng với các biến ngẫu nhiên X và Y.
dT (X, Y ; f) =‖ TXf − TY f ‖ .
Lưu ý rằng năm 1989 H. Kirschfink trong [30] cũng đã đề cập tới khoảng cách Trotter
được xây dựng trên cơ sở toán tử Trotter tổng quát (qua khái niệm kỳ vọng có điều kiện),
21
mối quan hệ của nó với các khoảng cách xác suất cổ điển và sử dụng nó trong nghiên cứu
các định lý giới hạn cho các biến ngẫu nhiên phụ thuộc (xem chi tiết trong [30]).
Các tính chất quan trọng của khoảng cách Trotter được xét dưới đây. Các chứng minh
chi tiết nhận được dễ dàng nhờ các tính chất của toán tử Trotter (xem chi tiết trong [30],
[17] và [18]).
1. Khoảng cách dT (X, Y ; f) là một khoảng cách xác suất.
2. Nếu dT (X, Y ; f) = 0 với f ∈ CrB(R), thì FX ≡ FY .
3. Giả sử {Xn, n ≥ 1} là một dãy các biến ngẫu nhiên và X là một biến ngẫu nhiên
xác định trên cùng một không gian xác suất. Khi đó,
Xn
w−→ X, khi n→ ∞
nếu
lim
n→+∞
dT (Xn, X; f) = 0, với f ∈ CrB(R).
4. Giả sử X1, X2, . . . , Xn, . . . và Y1, Y2, . . . , Yn, . . . là hai nhóm các biến ngẫu nhiên độc
lập. Khi đó, với f ∈ CrB(R)
dT
( n∑
j=1
Xj,
n∑
j=1
Yj; f
)
≤
n∑
j=1
dT
(
Xj, Yj; f
)
. (3.1.2)
5. Giả sử X1, X2, . . . , Xn, . . . và Y1, Y2, . . . , Yn, . . . là hai nhóm các biến ngẫu nhiên độc
lập, cùng phân phối. Khi đó, với f ∈ CrB(R)
dT
( n∑
j=1
Xj,
n∑
j=1
Yj; f
)
≤ ndT
(
X1, Y1; f
)
. (3.1.3)
6. Giả sử X1, X2, . . . , Xn, . . . và Y1, Y2, . . . , Yn, . . . là hai nhóm các biến ngẫu nhiên độc
lập. Ngoài ra, giả sử N là một biến ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên dương, độc lập
với các biến ngẫu nhiên trong hai nhóm X1, X2, . . . , Xn, . . . và Y1, Y2, . . . , Yn, . . . .
Khi đó, với f ∈ CrB(R)
dT
( N∑
j=1
Xj,
N∑
j=1
Yj; f
)
≤
∞∑
n=1
P (N = n)
n∑
j=1
dT
(
Xj, Yj; f
)
. (3.1.4)
Để kết thúc phần này, chúng ta lưu ý rằng quan hệ giữa các khoảng cách xác suất
Zolotarev và khoảng cách Trotter (xem chi tiết trong tài liệu [30] của H. Kirschfink)
sup
{
dT (X,Y ; f); f ∈ D1(s; r + 1;CB(R))
}
= dZ(X,Y )
cho thấy việc nghiên cứu khoảng cách xác suất dạng Trotter là cần thiết trong các bài
toán giới hạn của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập.
22
3.2 Đánh giá tốc độ hội tụ trong Luật yếu các số lớn
Phần này chúng tui sử dụng khoảng cách xác suất Trotter trong đánh giá tốc độ hội tụ
trong Luật yếu số lớn dạng Khintchin. Kết quả nhận được dưới đây có thể được so sánh
với kết quả của V. V. Petrov trong [39]. Phương pháp chứng minh được sử dụng tương tự
trong [15] và [18], dựa trên kết quả từ sự hội tụ của khoảng cách xác suất dT (Sn;X
0; f)
tới 0 khi n → ∞, sẽ dẫn tới sự hội yếu Sn w−→ X0, điều này lại cho phép Sn P−→ X0, khi
n→ ∞. Chính vì vậy mà mối quan tâm của chúng ta hiện nay là tốc độ hội tụ của khoảng
cách xác suất Trotter tới 0, khi n dần ra vô hạn,
dT (Sn;X
0; f) → 0 khi n→ +∞.
Chúng ta có kết quả sau.
Định lý 3.2.1. (xem [18]) Giả sử {Xn, n ≥ 1} là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập
cùng phân phối với kỳ vọng 0 và mô mem bậc r hữu hạn E(| Xj |r) < +∞ với r ≥ 1 và
với j = 1, 2, . . . n. Khi đó, với mọi f ∈ Cr(R), chúng ta có đánh giá sau
dT (Sn;X
0; f) = o(n−(r−1)), khi n→ +∞. (3.2.5)
Kết quả trên được mở rộng khi chỉ số n của tổng Sn được thay bởi một biến ngẫu
nhiên nhận giá trị nguyên dương. Giả sử {Nn;n ≥ 1} là một dãy các biến ngẫu nhiên
nhận giá trị nguyên dương, thỏa mãn
Nn
P−→ +∞, khi n→ +∞.
Ngoài ra, chúng ta cũng giả sử rằng Nn, n ≥ 1 độc lập với mọi biến ngẫu nhiên X1, X2, . . . .
Khi đó, chúng ta có thể ngẫu nhiên hóa kết quả của định lý trên.
Định lý 3.2.2. (xem [18]) Giả sử {Xn;n ≥ 1} là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập
cùng phân phối với kỳ vọng 0 và giả sử với r ≥ 1, j = 1, 2, . . . , E|Xj|r < +∞. Ngoài ra,
giả sử rằng {Nn;n ≥ 1} là một dãy các biến ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên dương, độc
lập với mọi biến ngẫu nhiên Xj, j = 1, 2, . . . n, thỏa mãn điều kiện
Nn
P−→ +∞ khi n→ +∞.
Khi đó, với mọi hàm f ∈ CrB(R), quan hệ
dT (SNn ;X
0; f) = o(E(Nn)
−(r−1)), khi n→ +∞ (3.2.6)
luôn đúng.
Chú ý rằng chứng minh nhanh chóng nhận được từ kết quả của Định lý 2.2.1, nếu ta
sử dụng bất đẳng thức (3.2.6).
23
Định lý 3.2.3. (xem [18]) Giả sử {Xn, n ≥ 1} là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập
cùng phân phối với trung bình 0 và 0 < D(Xj) = σ
2 ≤M2 < +∞, với mọi j = 1, 2, . . . n.
Khi đó, với mọi f ∈ CB(R), chúng ta có đánh giá
dT (Sn;X
0; f) ≤ (2 +M2)ω(f ;n− 12 ). (3.2.7)
Để kết thúc phần này, chúng ta có một số chú ý sau
Chú ý 3.2.1. 1. Trường hợp r = 1 từ (3.2.7) chúng ta sẽ có Luật yếu các số lớn dạng
Khincthin (xem [9]).
2. Khi r = 1, từ (3.3.8) chúng ta sẽ nhận được Luật yếu số lớn cho tổng ngẫu nhiên
các biến ngẫu nhiên độc lập (xem [21] và [25]).
3. Sử dụng tính chất ω(f ;n−
1
2 ) → 0 khi n → +∞, từ (3.3.9) chúng ta sẽ nhận được
Luật yếu các số lớn dạng Chebyshev.
3.3 Tốc độ hội tụ các định lý giới hạn của tổng ngẫu
nhiên qua khoảng cách Trotter
Phương pháp khoảng cách xác suất được sử dụng rộng rãi trong Lý thuyết xác suất,
nhất là trong các bài toán liên quan đến các định lý giới hạn (xem các tài liệu [1], [2],
[51]-[54], [15], [16], [17], [18]). Một trong số đó là khoảng cách Trotter được xây dựng trên
cơ sở toán tử Trotter trong [49]. Khoảng cách Trotter được dùng nhiều trong việc đánh giá
tốc độ hội tụ của luật số lớn và định lý giới hạn trung tâm của tổng các biến ngẫu nhiên
(xem [1], [2], [17]). Mục đích chính của phần này là thiết lập tốc độ hội tụ của một số định
lý giới hạn đối với tổng ngẫu nhiên các biến ngẫu nhiên độc lập SNn = X1 +X2 + . . . XNn
bằng phương pháp khoảng cách xác suất Trotter. Các kết quả nhận được là sự tiếp tục
và tổng quát các kết quả trong [19], [20]. Các kết quả chính của phần này đã được công
bố trong [21], vì vậy các chứng minh chi tiết sẽ được bỏ qua. Chú ý rằng trong suốt phần
này chỉ số ngẫu nhiên Nn, n ≥ 1 của tổng SNn luôn là các biến ngẫu nhiên nhận giá trị
nguyên dương, độc lập với mọi biến ngẫu nhiên độc lập X1, X2, . . . , Xn, . . . .
Trong các bài báo [19], [20] chúng tui đã đưa ra một số kết quả liên quan tới dáng
điệu tiệm cận của tổng ngẫu nhiên bằng phương pháp hàm đặc trưng. Dưới đây, ta sẽ
thiết lập một số kết quả về tốc độ hội tụ của tổng ngẫu nhiên qua khoảng cách Trotter.
Những kết quả này là sự cụ thể hóa cho các kết quả đã có của H. Robbins, W. Feller, B.
Gnhedenko và A. Renyi (xem các tài liệu [42], [9], [13], [14] và [41]). Các kết quả chính
của phần này được thể hiện qua các định lý dưới đây.
24
Định lý 3.3.1. Giả sử {Xn, n ≥ 1là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân
phối với kỳ vọng 0 và moment tuyệt đối cấp r+1 hữu hạn (r ≥ 2). Giả sử {Nn, n ≥ 1} là
một dãy các biến ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên dương, độc lập với mọi biến ngẫu nhiên
Xj, j = 1, 2, . . . Ngoài ra, giả sử ϕ : N → R+, là một hàm số không âm, xác định trên N
và thỏa mãn c...