Link tải luận văn miễn phí cho ae Kết Nối
Bài giảng Giải tích hàm
Contents
1 Không gian định chuẩn 4
1.1 Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Tôpô của không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3 Chuẩn tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.4 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Một số không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Không gian định chuẩn con . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Tích của hai không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.3 Không gian định chuẩn thương . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.4 Không gian định chuẩn hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . 12
1.3 Không gian Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.2 Một số bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.3 Một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Bài tập không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Ánh xạ tuyến tính liên tục 23
2.1 Ánh xạ tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.1 Sự liên tục của ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.2 Không gian L(X, Y ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2 Phiếm hàm tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.1 Sự liên tục của phiếm hàm tuyến tính . . . . . . . . . . . 25
2.2.2 Phiếm hàm tuyến tính và siêu phẳng . . . . . . . . . . . . 26
2.2.3 Không gian liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3 Một số phiếm hàm và ánh xạ tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . 27
2.3.1 Phiếm hàm tuyến tính trên Km . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3.2 Phiếm hàm tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2
Nguyễn Bích Huy Bài giảng Giải tích hàm
2.3.3 Toán tử tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.4 Ánh xạ (I A)−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Bài tập ánh xạ tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3 Không gian Hilbert 35
3.1 Định nghĩa không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.1.1 Tích vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.1.2 Chuẩn sinh bởi tích vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Phân tích trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.1 Sự trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.2 Định lý phân tích trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2.3 Không gian liên hợp của không gian Hilbert . . . . . . . . 38
3.3 Hệ trực chuẩn đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3.1 Hệ trực chuẩn, chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3.2 Hệ trực chuẩn đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3.3 Sự tồn tại hệ trực chuẩn đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . 42
Bài tập không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4 Các định lý cơ bản 46
4.1 Nguyên lý chặn đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.2 Các định lý ánh xạ mở, ánh xạ đồ thị đóng, ánh xạ ngược . . . . 47
4.2.1 Định lý ánh xạ mở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2.2 Định lý ánh xạ ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2.3 Ánh xạ có đồ thị đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.3 Định lý Hahn - Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3
Nguyễn Bích Huy Bài giảng Giải tích hàm
1 Không gian định chuẩn
1.1 Không gian định chuẩn
1.1.1 Định nghĩa
Định nghĩa 1.1. Cho X là không gian vector trên trường số K (K = R, C). Một ánh xạ từ X vào R, x ›→ ǁxǁ, được gọi là một chuẩn trên X nếu thỏa mãn:
i) ǁxǁ ≥ 0, ∀x ∈ X.
ǁxǁ = 0 ⇔ x = θ (θ = θX là phần tử không của X).
ii) ǁλxǁ = |λ|.ǁxǁ, ∀λ ∈ K, ∀x ∈ X.
iii) ǁx + yǁ ≤ ǁxǁ + ǁyǁ, ∀x, y ∈ X.
Khi đó, không gian vector X được trang bị chuẩn ǁ • ǁ được gọi là không gian định chuẩn và ký hiệu là (X, ǁ • ǁ). Số ǁxǁ gọi là chuẩn của x.
Ví dụ 1.2. Ký hiệu C[a, b] là tập hợp các hàm thực liên tục trên [a, b]. C[a, b] là không gian vector trên R với các phép toán thông thường về phép cộng hai hàm số và phép nhân một hàm số với một số thực, phần tử θ là hàm hằng 0. Khi đó, ánh xạ
x x = sup
t∈[a,b]
|x(t)|
là một chuẩn trên C[a, b], nghĩa là (C[a, b], ǁ • ǁ) là một không gian định chuẩn.
Chứng minh. Ta có thể dễ dàng kiểm tra ba điều kiện trong định nghĩa chuẩn được thỏa mãn. Thật vậy, với mọi x, y ∈ C[a, b] và λ ∈ R, ta có:
i) Hiển nhiên x = sup
t∈[a,b]
|x(t)| ≥ 0.
ǁxǁ = 0 ⇔ x(t) = 0, ∀t ∈ [a, b] ⇔ x = θ.
ii) λx = sup
t∈[a,b]
λx(t) = λ sup
t∈[a,b]
|x(t)| = |λ|ǁxǁ.
iii) |x(t) + y(t)| ≤ |x(t) + |y(t)| ≤ ǁxǁ + ǁyǁ, ∀t ∈ [a, b]. Suy ra ǁx + yǁ ≤ ǁxǁ + ǁyǁ.
Mệnh đề 1.3. Cho không gian định chuẩn (X, ǁ • ǁ). Khi đó:
i) |ǁxǁ − ǁyǁ| ≤ ǁx − yǁ, ∀x, y ∈ X.
4
ii) Ánh xạ d : X × X −→ R, d(x, y) = ǁx − yǁ là một metric trên X, gọi là metric sinh bởi chuẩn ǁ • ǁ.
Chứng minh. Ta có x = (x y) + y x y + y . Suy ra x y
x y . Thay đổi vai trò của x, y và chú ý rằng x y = y x , ta được y x x y . Từ đó suy ra i). Mệnh đề ii) có thể kiểm tra dễ dàng từ định nghĩa metric.
1.1.2 Tôpô của không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.4. Ta hiểu tôpô của không gian định chuẩn (X, ǁ • ǁ) là tôpô sinh bởi metric d(x, y) = ǁx − yǁ.
Như vậy, G ⊂ X gọi là tập mở nếu: ∀x ∈ G, ∃r > 0 : B(x, r) ⊂ G, với
B(x, r) = {y ∈ X : ǁy − xǁ < r}.
Các tính chất đóng, liên tục, compact, ... có liên quan tới sự hội tụ:
lim
n→∞
xn = x (xn −ǁ→•ǁ
x) lim
n→∞
ǁxn − xǁ = 0 ⇔ lim
d(xn, x) = 0.
Mệnh đề 1.5. Cho không gian định chuẩn (X, ǁ • ǁ) và A ⊂ X. Ta có:
i) x ∈ A ⇔ ∃{xn} ⊂ A : lim
xn = x.
ii) A đóng ⇔ ∀{xn} ⊂ A : lim xn = x ⇒ x ∈ A.
iii) A compact ⇔ ∀{xn} ⊂ A : ∃{xnk } ⊂ {xn}, lim xnk = x ∈ A.
Mệnh đề 1.6. Cho các không gian định chuẩn (X, ǁ • ǁX), (Y, ǁ • ǁY ) và ánh xạ
f : X → Y . Các mệnh đề sau là tương đương:
i) f liên tục tại x0 ∈ X.
ii) ∀{xn} ⊂ X : lim
xn = x0 lim
n→∞
f (xn) = f (x0).
iii) ∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x ∈ X, ǁx − x0ǁX < δ ⇒ ǁf (x) − f (x0)ǁY < ε.
Mệnh đề 1.7. Cho các không gian định chuẩn (X, ǁ • ǁ) và các dãy {xn}, {yn} ⊂
X, λn K sao cho lim
n→∞
xn = x, lim
n→∞
yn = y, lim
n→∞
λn = λ. Khi đó:
i) lim
n→∞
ǁxnǁ = ǁxǁ.
ii) lim (xn + yn) = x + y.
n→∞
5
iii) lim
n→∞
λnxn = λx.
Chứng minh. Mệnh đề này được suy ra từ các bất đẳng thức sau:
i) |ǁxnǁ − ǁxǁ| ≤ ǁxn − xǁ.
ii) ǁ(xn + yn) − (x + y)ǁ ≤ ǁxn − xǁ + ǁyn − yǁ.
iii) ǁλnxn − λxǁ = ǁλn(xn − x) + (λn − λ)xǁ ≤ |λn|ǁxn − xǁ + ǁxǁ|λn − λ|.
Hệ quả 1.8. Các ánh xạ f, g : X → X xác định bởi f (x) = x + x0, g(x) = λ0x
(với x0 ∈ X và λ0 ∈ K \ {0}) là đồng phôi.
Nhắc lại: cho X, Y là hai không gian tôpô, song ánh f : X Y được gọi là đồng phôi nếu f liên tục và ánh xạ ngược f −1 cũng liên tục.
1.1.3 Chuẩn tương đương
Định nghĩa 1.9. Hai chuẩn x ›→ ǁxǁ1, x ›→ ǁxǁ2 trên X gọi là tương đương, ký hiệu ǁ • ǁ1 ∼ ǁ • ǁ2, nếu tôpô sinh bởi chúng trùng nhau.
Định lý 1.10. Cho hai chuẩn 1, 2 trên X. Các mệnh đề sau là tương đương:
i) ǁ • ǁ1 ∼ ǁ • ǁ2.
ii) Ánh xạ đồng nhất I : (X, ǁ • ǁ1) → (X, ǁ • ǁ2) là đồng phôi.
iii) ∃a, b > 0: aǁxǁ1 ≤ ǁxǁ2 ≤ bǁxǁ1, ∀x ∈ X.
Chứng minh. Từ Định nghĩa 1.9, ta có i) tương đương với ii). Do đó, ta cần chứng minh ii) tương đương với iii).
• Chứng minh ii) ⇒ iii).
Giả sử ánh xạ đồng nhất I là đồng phôi, khi đó I liên tục tại θ. Với ε = 1, tồn tại δ > 0 sao cho
∀x ∈ X, ǁxǁ1 < δ ⇒ ǁI(x)ǁ2 = ǁxǁ2 < 1. (1)
Với mọi x ∈ X \ {θ}, áp dụng (1) cho phần tử δ . x , ta có:
¨ ¨ ¨
2 ǁxǁ1
¨ δ ¨ δ ¨ δ ¨
¨
¨2ǁxǁ1
¨ 2 < δ ⇒
¨
¨2ǁxǁ1
¨ < 1.
2
6
Từ đây suy ra ǁx xǁ , ∀x ∈ X.
Vì I là đồng phôi nên ta thấy vai trò của hai chuẩn 1, 2 bình đẳng nhau. Do đó, bằng cách hoàn toàn tương tự ta cũng chứng minh được bất đẳng thức còn lại của iii).
• Chứng minh iii) ⇒ ii).
Giả sử mệnh đề iii) đúng, ta chứng minh I là đồng phôi. Thật vậy, với mọi
xn X, lim
n→∞
xn → x trong (X, ǁ • ǁ1), ta có:
ǁI(xn) − I(x)ǁ2 = ǁxn − xǁ2 ≤ b ǁxn − xǁ1 −→ 0.
Từ đây suy ra lim
n→∞
I(xn) = I(x) trong (X, ǁ• ǁ2), nghĩa là ánh xạ I : (X, ǁ• ǁ1) →
(X, ǁ • ǁ2) liên tục trên X. Hoàn toàn tương tự, ta cũng chứng minh được ánh xạ ngược I−1 : (X, ǁ • ǁ2) → (X, ǁ • ǁ1) cũng liên tục. Vậy I là đồng phôi.
1.1.4 Không gian Banach
Định nghĩa 1.11. Không gian định chuẩn (X, ) là không gian Banach nếu X ứng với metric d xác định bởi d(x, y) = x y là không gian metric đầy đủ, nghĩa là:
xn X, lim
m,n→∞
ǁxm − xnǁ = 0 ⇒ {xn} hội tụ .
Mệnh đề 1.12. Cho hai chuẩn ǁ• ǁ1, ǁ• ǁ2 trên X. Nếu ǁ• ǁ1 ∼ ǁ• ǁ2 và (X, ǁ• ǁ1)
là không gian Banach thì (X, ǁ • ǁ2) cũng là không gian Banach. Chứng minh. Sinh viên tự chứng minh.
Định nghĩa 1.13. Cho không gian định chuẩn (X, ǁ • ǁ) và dãy {xn} ⊂ X.
Σ∞
• Ký hiệu
n=1
xn (S) hay x1 + x2 + x3 + ... được gọi là chuỗi trong (X, ǁ • ǁ).
• Chuỗi (S) được gọi là hội tụ và có tổng x ∈ X nếu
Do Drive thay đổi chính sách, nên một số link cũ yêu cầu duyệt download. các bạn chỉ cần làm theo hướng dẫn.
Password giải nén nếu cần: ket-noi.com | Bấm trực tiếp vào Link để tải:
Bài giảng Giải tích hàm
Contents
1 Không gian định chuẩn 4
1.1 Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Tôpô của không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3 Chuẩn tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.4 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Một số không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Không gian định chuẩn con . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Tích của hai không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.3 Không gian định chuẩn thương . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.4 Không gian định chuẩn hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . 12
1.3 Không gian Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.2 Một số bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.3 Một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Bài tập không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Ánh xạ tuyến tính liên tục 23
2.1 Ánh xạ tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.1 Sự liên tục của ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.2 Không gian L(X, Y ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2 Phiếm hàm tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.1 Sự liên tục của phiếm hàm tuyến tính . . . . . . . . . . . 25
2.2.2 Phiếm hàm tuyến tính và siêu phẳng . . . . . . . . . . . . 26
2.2.3 Không gian liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3 Một số phiếm hàm và ánh xạ tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . 27
2.3.1 Phiếm hàm tuyến tính trên Km . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3.2 Phiếm hàm tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2
Nguyễn Bích Huy Bài giảng Giải tích hàm
2.3.3 Toán tử tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.4 Ánh xạ (I A)−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Bài tập ánh xạ tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3 Không gian Hilbert 35
3.1 Định nghĩa không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.1.1 Tích vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.1.2 Chuẩn sinh bởi tích vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Phân tích trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.1 Sự trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.2 Định lý phân tích trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2.3 Không gian liên hợp của không gian Hilbert . . . . . . . . 38
3.3 Hệ trực chuẩn đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3.1 Hệ trực chuẩn, chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3.2 Hệ trực chuẩn đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3.3 Sự tồn tại hệ trực chuẩn đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . 42
Bài tập không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4 Các định lý cơ bản 46
4.1 Nguyên lý chặn đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.2 Các định lý ánh xạ mở, ánh xạ đồ thị đóng, ánh xạ ngược . . . . 47
4.2.1 Định lý ánh xạ mở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2.2 Định lý ánh xạ ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2.3 Ánh xạ có đồ thị đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.3 Định lý Hahn - Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3
Nguyễn Bích Huy Bài giảng Giải tích hàm
1 Không gian định chuẩn
1.1 Không gian định chuẩn
1.1.1 Định nghĩa
Định nghĩa 1.1. Cho X là không gian vector trên trường số K (K = R, C). Một ánh xạ từ X vào R, x ›→ ǁxǁ, được gọi là một chuẩn trên X nếu thỏa mãn:
i) ǁxǁ ≥ 0, ∀x ∈ X.
ǁxǁ = 0 ⇔ x = θ (θ = θX là phần tử không của X).
ii) ǁλxǁ = |λ|.ǁxǁ, ∀λ ∈ K, ∀x ∈ X.
iii) ǁx + yǁ ≤ ǁxǁ + ǁyǁ, ∀x, y ∈ X.
Khi đó, không gian vector X được trang bị chuẩn ǁ • ǁ được gọi là không gian định chuẩn và ký hiệu là (X, ǁ • ǁ). Số ǁxǁ gọi là chuẩn của x.
Ví dụ 1.2. Ký hiệu C[a, b] là tập hợp các hàm thực liên tục trên [a, b]. C[a, b] là không gian vector trên R với các phép toán thông thường về phép cộng hai hàm số và phép nhân một hàm số với một số thực, phần tử θ là hàm hằng 0. Khi đó, ánh xạ
x x = sup
t∈[a,b]
|x(t)|
là một chuẩn trên C[a, b], nghĩa là (C[a, b], ǁ • ǁ) là một không gian định chuẩn.
Chứng minh. Ta có thể dễ dàng kiểm tra ba điều kiện trong định nghĩa chuẩn được thỏa mãn. Thật vậy, với mọi x, y ∈ C[a, b] và λ ∈ R, ta có:
i) Hiển nhiên x = sup
t∈[a,b]
|x(t)| ≥ 0.
ǁxǁ = 0 ⇔ x(t) = 0, ∀t ∈ [a, b] ⇔ x = θ.
ii) λx = sup
t∈[a,b]
λx(t) = λ sup
t∈[a,b]
|x(t)| = |λ|ǁxǁ.
iii) |x(t) + y(t)| ≤ |x(t) + |y(t)| ≤ ǁxǁ + ǁyǁ, ∀t ∈ [a, b]. Suy ra ǁx + yǁ ≤ ǁxǁ + ǁyǁ.
Mệnh đề 1.3. Cho không gian định chuẩn (X, ǁ • ǁ). Khi đó:
i) |ǁxǁ − ǁyǁ| ≤ ǁx − yǁ, ∀x, y ∈ X.
4
ii) Ánh xạ d : X × X −→ R, d(x, y) = ǁx − yǁ là một metric trên X, gọi là metric sinh bởi chuẩn ǁ • ǁ.
Chứng minh. Ta có x = (x y) + y x y + y . Suy ra x y
x y . Thay đổi vai trò của x, y và chú ý rằng x y = y x , ta được y x x y . Từ đó suy ra i). Mệnh đề ii) có thể kiểm tra dễ dàng từ định nghĩa metric.
1.1.2 Tôpô của không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.4. Ta hiểu tôpô của không gian định chuẩn (X, ǁ • ǁ) là tôpô sinh bởi metric d(x, y) = ǁx − yǁ.
Như vậy, G ⊂ X gọi là tập mở nếu: ∀x ∈ G, ∃r > 0 : B(x, r) ⊂ G, với
B(x, r) = {y ∈ X : ǁy − xǁ < r}.
Các tính chất đóng, liên tục, compact, ... có liên quan tới sự hội tụ:
lim
n→∞
xn = x (xn −ǁ→•ǁ
x) lim
n→∞
ǁxn − xǁ = 0 ⇔ lim
d(xn, x) = 0.
Mệnh đề 1.5. Cho không gian định chuẩn (X, ǁ • ǁ) và A ⊂ X. Ta có:
i) x ∈ A ⇔ ∃{xn} ⊂ A : lim
xn = x.
ii) A đóng ⇔ ∀{xn} ⊂ A : lim xn = x ⇒ x ∈ A.
iii) A compact ⇔ ∀{xn} ⊂ A : ∃{xnk } ⊂ {xn}, lim xnk = x ∈ A.
Mệnh đề 1.6. Cho các không gian định chuẩn (X, ǁ • ǁX), (Y, ǁ • ǁY ) và ánh xạ
f : X → Y . Các mệnh đề sau là tương đương:
i) f liên tục tại x0 ∈ X.
ii) ∀{xn} ⊂ X : lim
xn = x0 lim
n→∞
f (xn) = f (x0).
iii) ∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x ∈ X, ǁx − x0ǁX < δ ⇒ ǁf (x) − f (x0)ǁY < ε.
Mệnh đề 1.7. Cho các không gian định chuẩn (X, ǁ • ǁ) và các dãy {xn}, {yn} ⊂
X, λn K sao cho lim
n→∞
xn = x, lim
n→∞
yn = y, lim
n→∞
λn = λ. Khi đó:
i) lim
n→∞
ǁxnǁ = ǁxǁ.
ii) lim (xn + yn) = x + y.
n→∞
5
iii) lim
n→∞
λnxn = λx.
Chứng minh. Mệnh đề này được suy ra từ các bất đẳng thức sau:
i) |ǁxnǁ − ǁxǁ| ≤ ǁxn − xǁ.
ii) ǁ(xn + yn) − (x + y)ǁ ≤ ǁxn − xǁ + ǁyn − yǁ.
iii) ǁλnxn − λxǁ = ǁλn(xn − x) + (λn − λ)xǁ ≤ |λn|ǁxn − xǁ + ǁxǁ|λn − λ|.
Hệ quả 1.8. Các ánh xạ f, g : X → X xác định bởi f (x) = x + x0, g(x) = λ0x
(với x0 ∈ X và λ0 ∈ K \ {0}) là đồng phôi.
Nhắc lại: cho X, Y là hai không gian tôpô, song ánh f : X Y được gọi là đồng phôi nếu f liên tục và ánh xạ ngược f −1 cũng liên tục.
1.1.3 Chuẩn tương đương
Định nghĩa 1.9. Hai chuẩn x ›→ ǁxǁ1, x ›→ ǁxǁ2 trên X gọi là tương đương, ký hiệu ǁ • ǁ1 ∼ ǁ • ǁ2, nếu tôpô sinh bởi chúng trùng nhau.
Định lý 1.10. Cho hai chuẩn 1, 2 trên X. Các mệnh đề sau là tương đương:
i) ǁ • ǁ1 ∼ ǁ • ǁ2.
ii) Ánh xạ đồng nhất I : (X, ǁ • ǁ1) → (X, ǁ • ǁ2) là đồng phôi.
iii) ∃a, b > 0: aǁxǁ1 ≤ ǁxǁ2 ≤ bǁxǁ1, ∀x ∈ X.
Chứng minh. Từ Định nghĩa 1.9, ta có i) tương đương với ii). Do đó, ta cần chứng minh ii) tương đương với iii).
• Chứng minh ii) ⇒ iii).
Giả sử ánh xạ đồng nhất I là đồng phôi, khi đó I liên tục tại θ. Với ε = 1, tồn tại δ > 0 sao cho
∀x ∈ X, ǁxǁ1 < δ ⇒ ǁI(x)ǁ2 = ǁxǁ2 < 1. (1)
Với mọi x ∈ X \ {θ}, áp dụng (1) cho phần tử δ . x , ta có:
¨ ¨ ¨
2 ǁxǁ1
¨ δ ¨ δ ¨ δ ¨
¨
¨2ǁxǁ1
¨ 2 < δ ⇒
¨
¨2ǁxǁ1
¨ < 1.
2
6
Từ đây suy ra ǁx xǁ , ∀x ∈ X.
Vì I là đồng phôi nên ta thấy vai trò của hai chuẩn 1, 2 bình đẳng nhau. Do đó, bằng cách hoàn toàn tương tự ta cũng chứng minh được bất đẳng thức còn lại của iii).
• Chứng minh iii) ⇒ ii).
Giả sử mệnh đề iii) đúng, ta chứng minh I là đồng phôi. Thật vậy, với mọi
xn X, lim
n→∞
xn → x trong (X, ǁ • ǁ1), ta có:
ǁI(xn) − I(x)ǁ2 = ǁxn − xǁ2 ≤ b ǁxn − xǁ1 −→ 0.
Từ đây suy ra lim
n→∞
I(xn) = I(x) trong (X, ǁ• ǁ2), nghĩa là ánh xạ I : (X, ǁ• ǁ1) →
(X, ǁ • ǁ2) liên tục trên X. Hoàn toàn tương tự, ta cũng chứng minh được ánh xạ ngược I−1 : (X, ǁ • ǁ2) → (X, ǁ • ǁ1) cũng liên tục. Vậy I là đồng phôi.
1.1.4 Không gian Banach
Định nghĩa 1.11. Không gian định chuẩn (X, ) là không gian Banach nếu X ứng với metric d xác định bởi d(x, y) = x y là không gian metric đầy đủ, nghĩa là:
xn X, lim
m,n→∞
ǁxm − xnǁ = 0 ⇒ {xn} hội tụ .
Mệnh đề 1.12. Cho hai chuẩn ǁ• ǁ1, ǁ• ǁ2 trên X. Nếu ǁ• ǁ1 ∼ ǁ• ǁ2 và (X, ǁ• ǁ1)
là không gian Banach thì (X, ǁ • ǁ2) cũng là không gian Banach. Chứng minh. Sinh viên tự chứng minh.
Định nghĩa 1.13. Cho không gian định chuẩn (X, ǁ • ǁ) và dãy {xn} ⊂ X.
Σ∞
• Ký hiệu
n=1
xn (S) hay x1 + x2 + x3 + ... được gọi là chuỗi trong (X, ǁ • ǁ).
• Chuỗi (S) được gọi là hội tụ và có tổng x ∈ X nếu
Do Drive thay đổi chính sách, nên một số link cũ yêu cầu duyệt download. các bạn chỉ cần làm theo hướng dẫn.
Password giải nén nếu cần: ket-noi.com | Bấm trực tiếp vào Link để tải:
You must be registered for see links