Ánh xạ liên tục trên không gian topo

[daigai]

Link tải luận văn miễn phí cho ae Kết Nối

Chương 1
ÁNH XẠ LIÊN TỤC TRÊN KHÔNG GIAN TÔPÔ
TỔNG QUÁT
A. Kiến thức chuẩn bị:
1. Định nghĩa tôpô:
Cho tập X ≠ Ø. Một họ  các tập con của X được gọi là một tôpô trên X nếu nó thỏa
mãn đồng thời các điều kiện sau:
a) X  và Ø  ;
b) Hợp tùy ý các tập thuộc  là thuộc  ;
c) Giao hữu hạn các tập thuộc  cũng thuộc  .
Một tập X được trang bị một tôpô trên nó được gọi là một không gian tôpô, kí hiệu
(X,  ).
Nếu chỉ ký hiệu không gian tôpô l à X thì ta ngầm hiểu rằng trên X đã được trang bị
một tôpô nào đó.
2. Tập mở, tập đóng, lân cận:
Cho không gian tôpô (X,  ).
a) Mọi tập thuộc  được gọi là tập mở; tập có phần bù là tập mở gọi là tập đóng.
b) Với mỗi điểm x X, tập V  X được gọi là lân cận của x nếu tồn tại tập mở G
trong X sao cho xG  V.
Nhận xét: G là tập mở khi và chỉ khi nó là lân cận của mọi điểm thuộc nó.
c) Họ tất cả các lân cận của điểm x được gọi là hệ lân cận của x, ký hiệu Vx.
Họ Bx Vx được gọi là một cơ sở lân cận của điểm x nếu  VVx, BBx sao
cho x B  V.
3. Các loại điểm, phần trong, bao đóng:
Cho không gian tôpô (X,  ), xX và tập A  X.
a) Các loại điểm:
Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Ket-noi.com kho tai lieu mien phiÁnh xạ liên tục trên không gian tôpô SV: Đào Thanh B ình
- 4 -
- x gọi là điểm trong của A nếu tồn tại tập mở G sao cho xG  A.
- x gọi là điểm ngoài của A nếu tồn tại tập mở G sao cho xG  X \ A.
- x gọi là điểm biên của A nếu  VVx, V  A ≠ Ø, và V  (X \ A) ≠ Ø.
- x gọi là điểm dính của A nếu  V Vx, V  A ≠ Ø.
- x goi là điểm cô lập của A nếu V Vx: V  A = Ø. Nếu A = X thì x là điểm cô
lập của A nếu tập {x} là tập mở.
b) Phần trong của tập A, ký hiệu là int A hay Ao , là tập tất cả các điểm trong của A.
Nói cách khác, phần trong của A là tập mở lớn nhât chứa trong A.
c) Bao đóng của tập A, ký hiệu A , là tập đóng bé nhất trong X chứa A.
4. Tập hợp trù mật, không gian khả ly:
a) Trong không gian tôpô X, tập con A của X được gọi là trù mật trong X nếu A = X.
Nếu int A = Ø thì A gọi là tập thưa ( hay tập không đâu trù mật).
b) Không gian tôpô (X,  ) là không gian khả ly nếu tồn tại một tập A  X sao cho A
không quá đếm được và A = X, tức là A trù mật trong X.
5. Tập thuộc phạm trù::
Không gian tôpô X gọi là thuộc phạm trù thứ nhất nếu X bằng hợp đếm được các tập
không đâu trù mật.
Không gian không thuộc phạm trù thứ nhất gọi là thuộc phạm trù thứ hai.
6. Không gian T1, T2 và không gian chuẩn tắc:
a) Không gian tôpô X được gọi là T1 - không gian nếu hai điểm x, y khác nhau bất k ì
của X đều có một lân cận của x không chứa y v à một lân cận của y không chứa x.
b) Không gian tôpô X được gọi là không gian Hausdorff (hay T2 - không gian) nếu bất
kì hai điểm khác nhau x, yX đều tồn tại một lân cận U của x v à lân cận V của y sao
cho U  V = Ø.
c) Không gian tôpô X được gọi là không gian chuẩn tắc (hay T4 – không gian) nếu X
là T1 – không gian và với hai tập đóng bất kì A, B không giao nhau của X luôn tồn tại các
tập mở U và V sao cho A  U, B  V và U  V = Ø.
7. Không gian tôpô tổng, tích, thương:
Cho (X , )I là họ các không gian tôpô.Ánh xạ liên tục trên không gian tôpô SV: Đào Thanh B ình
- 5 -
a) Tổng:
Đặt X = 

X
I
 . Xét họ  = {G  X: G  X  ,  I}. Khi đó,  là một tôpô
trên X và (X,  ) là không gian tôpô tổng của họ không gian tôpô đã cho, ký hiệu
X= 
I
X

 .
Nếu họ X I rời nhau từng đôi thì tổng gọi là tổng trực tiếp, ký hiệu X =
I X .
Ký hiệu i : X  X , i (x) = x, là phép nhúng chính tắc.
b) Tích Descartes:
Đặt X = I X và  : X  X là phép chiếu (hay ánh xạ tọa độ thứ  ).
Gọi  là tôpô yếu nhất để tất cả các phép chiếu  liên tục (định nghĩa ánh xạ liên
tục sẽ được trình bày sau trong chương này). Khi đó, (X,  ) gọi là không gian tôpô tích
của họ không gian đã cho.
c) Không gian thương:
Cho không gian tôpô (X,  ) và một quan hệ tương đương R trên X. Ký hiệu X/R là
tập thương của X theo quan hệ tương đương R. Xét ánh xạ  : X  X/R xác định bởi
 (x) = x , với x là lớp tương đương chứa x. Khi đó,  gọi là phép chiếu chính tắc và dễ
thấy  là toàn ánh.
Trên X/R, dễ thấy họ  = {V  X/R:  -1(V)  } là một tôpô và là tôpô mạnh nhất
để  liên tục.
Khi đó, (X/R, ) gọi là không gian thương của không gian X theo quan hệ t ương
đương R.
B. Các vấn đề về ánh xạ liên tục.
1.1. Định nghĩa ánh xạ liên tục:
Cho hai không gian tôpô (X, τX ), (Y, τY ) và ánh xạ f: X  Y. Khi đó, f được gọi là
liên tục tại điểm x0 X nếu với mỗi lân cận W của f(x0) Y, tồn tại lân cận V của x0
sao cho f(V)  W.
Nếu f liên tục  xX thì f được gọi là liên tục trên X.
Nếu f: (X,  X )  (Y, Y ) là ánh xạ liên tục thì ta còn nói ánh xạ f là ( X ,Y )- liên
tụ
Với mỗi số nguyên dương n, ta định nghĩa Fn = {xX: |f(x)| ≤ n,  f F}. Ta sẽ
chứng minh Fn là tập đóng  n nguyên dương.
Thật vậy, gọi {xk} là dãy bất kỳ các phần tử của Fn hội tụ về x. Do f liên tục nên ta có
f(x) = klim  f(xk ) ≤ n. Do đó, xFn  Fn đóng.
Theo giả thuyết, với mỗi xX, tồn tại số nguyên dương nx sao cho | f(x)| ≤ nx ,
 f F. Do đó, X = n
n 1
F

.
Vì X compact nên (X, d) thuộc phạm trù thứ hai, do đó tồn tại Fn
0
có phần trong khác
rỗng. Đặt G = int Fn
0
. Khi đó, |f(x)| ≤ n0  fF và  xG. 
Bài 15. Cho (X, d) là không gian mêtric và với x X, xác định ρ(x) dist(x, X\{x}).
Chứng minh rằng hai điều kiện sau đây t ương đương:
a) Mọi hàm f: X  R là liên tục đều.
b) Mọi dãy {xn}  X sao cho lim ρ(x n ) 0
n


đều có chứa một dãy con hội tụ.
▪ Giải:
Trước hết ta chứng minh (a)  (b).
Giả sử tồn tại dãy {xn}  X sao cho lim ( )  0

n
n
 x nhưng {xn} không chứa dãy con
hội tụ nào. Khi đó, tồn tại dãy {yn}  X sao cho lim ( , )  0

n n
n
d x y và yn ≠ xn  n. Nếu
{yn} chứa dãy con hội tụ {
ynk }, thì do lim n d( xnk , ynk ) = 0 nên dãy con { xnk } cũng
hội tụ. Do đó, dãy { yn } cũng không có dãy con hội tụ. Suy ra, không có số hạng nào của
dãy {xn} và {yn} được lặp lại vô hạn lần. Vì vậy, tồn tại một dãy tăng thực sự {nk} các số
nguyên dương sao cho các tập vô hạn F1 = {
xnk : kN} và F2 = { ynk : kN} đóng và
rời nhau. Vì mọi không gian metric đều là không gian chuẩn tắc nên theo bổ đề Urysohn,
tồn tại hàm liên tục f: X  R sao cho f(x) = 1  xF1 và f(x) = 0  xF2. Khi đó,
| f(
xnk ) – f( ynk )| = 1 trong khi lim n d( ynk , ynk ) = 0. Từ đó, f liên tục nhưng không liên
tục đều trên X, mâu thuẫn (a). Vậy, ta phải có (b).
Ngược lại, ta sẽ chứng minh (b)  (a).
Ta kí hiệu A là tập các điểm giới hạn của X. Khi đó, mọi x A đều có (x)  0. Do
đó, theo (b), mọi dãy các phần tử trong A đều có dãy con hội tụ tới một phần tử trong A.
Vì vậy, A là tập compact.
Nếu X ≠ A thì với 1 > 0, đặt 2 = inf { (x) | xX, dist(x, A) > 1 }. Ta sẽ chứng
minh rằng 2 > 0. Nếu 2 = 0, thì tồn tại dãy {xn} các phần tử trong X sao cho

Do Drive thay đổi chính sách, nên một số link cũ yêu cầu duyệt download. các bạn chỉ cần làm theo hướng dẫn.
Password giải nén nếu cần: ket-noi.com | Bấm trực tiếp vào Link để tải:

You must be registered for see links