Download miễn phí Giáo trình Toán chuyên ngành điện tử - viễn thông
Chuỗi Markov, quá trình Poisson nghiên cứu sựtiến triển theo thời gian của các hệngẫu
nhiên mà trong đó tương lai chỉphụthuộc hiện tại và độc lập với quá khứ(tính Markov). Khái
niệm quá trình ngẫu nhiên và chuỗi Markov đã được nghiên cứu trong giáo trình xác suất thống
kê.
Ngoài những quá trình Markov, trong thực tếta còn gặp các hệngẫu nhiên mà quá khứcủa
nó có ảnh hưởng lớn đến sựtiến triển của quá trình trong tương lai. Đặc biệt với quá trình mà hàm
tựtương quan thuần nhất theo thời gian (quá trình dừng) có rất nhiều ứng dụng trong viễn thông.
Các tín hiệu, nhiễu của một hệthống viễn thông là các quá trình dừng. Khái niệm quá trình dừng
được nhà toán học người Nga Khintchine đưa ra lần đầu tiên vào năm 1934. Ngày nay quá trình
dừng đã trởthành một trong những lĩnh vực quan trọng và có nhiều ứng dụng của lý thuyết xác
suất.
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí
Tóm tắt nội dung tài liệu:
ax
m
bZxy .
Ví dụ 3.7: 0.d dyx bx y
dx dx
α β⎛ ⎞ + =⎜ ⎟⎝ ⎠
Dẫn đến phương trình e. với α−β=m và α=a .
Nhận xét: Khi phương trình trong ví dụ 3.6 dẫn đến phương trình Euler: 2−=m
. 0'''2 =++ kyaxyyx
113
Chương 3: Các hàm số và các phương trình đặc biệt
Bằng cách đặt sẽ dẫn đến phương trình hệ số hằng: uex = 0)1(2
2
=+−+ ky
du
dya
du
yd .
3.5.11.2. Phương trình dạng
0'12'' 2
2
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ α−++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++ y
xx
aby
x
ay (3.84)
Đặt: sẽ nhận được phương trình uey ax−=
01 2
2
2''' =⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ α−−++ u
x
abu
x
u . (3.85)
a. Khi nghiệm tổng quát có dạng: 2ab ≠ ⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ −= α− xabZey ax 2
b. Khi và , (3.66)' là phương trình Euler có hai nghiệm độc lập và
. Vậy nghiệm tổng quát của (3.66):
2ab = 0≠α α= xu1
α−= xu2 ( )α−α− += BxAxey ax ; A,B là hằng số tuỳ ý.
c. Khi và , (3.66)' có nghiệm tổng quát 2ab = 0≠α xBAu ln+= . Vậy (3.66) có
nghiệm tổng quát ; A,B là hằng số tuỳ ý. )ln( xBAey ax += −
3.5.11.3. Phương trình dạng
0)()(')(1')(21'' 22
2
=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −−+α−−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+ y
x
xgxgxg
x
yxg
x
y (3.86)
Nghiệm tổng quát có dạng: . )()( xZey dxxg α∫=
Ví dụ 3.8: 0tg'tg21'' 2
2
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +α+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+ y
x
x
x
yx
x
y
Có nghiệm )(
cos
1 xZ
x
y α= .
Ví dụ 3.9: 0cotg'cotg21'' 2
2
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −α−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++ y
x
x
x
yx
x
y
Có nghiệm )(
sin
1 xZ
x
y α= .
TÓM TẮT
Khai triển tiệm cận
114
Chương 3: Các hàm số và các phương trình đặc biệt
Chuỗi hàm "" +++++ nnz
a
z
a
z
aa 2
21
0 trong đó ( i = 0, 1, 2,...) là các hằng số phức,
gọi là khai triển tiệm cận của hàm số
ia
( )zf nếu thoả mãn hai điều kiện dưới đây :
{ }lim ( ) lim ( ) 0nnz zR z z f z S→∞ →∞• = − n n= , ( cố định)
Trong đó : n
n
n
z
a
z
aaS +++= "10 là tổng riêng thứ . n
không dần đến 0 khi ( ) nSzf −• ∞→n với z cố định.
Các hàm số tích phân
Ei( ) , 0
t
x
ex dt x
t
∞ −
= ∫ > đọc là hàm tích phân mũ của x.
0
sinSi( ) , 0
x tx dt x
t
= ∫ > đọc là hàm tích phân sin của x.
cosCi( ) , 0
x
tx dt
t
∞
= − >∫ x đọc là hàm tích phân cosin của x.
Ngoài ra ký hiệu: sinsi( )
x
tx dt
t
∞
= −∫ cũng đọc là tích phân sin của x.
Hàm số Gamma
))...(2)(1(
!lim)(
mzzzz
mmz
z
m +++=Γ ∞→ ",2,1,0 −−≠z (công thức Gauss)
Công thức Weierstrass: m
z
m
z e
m
zze
z
−∞
=
γ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +Π=Γ 1.)(
1
1
Công thức Euler: nếu . ∫
∞ −−=Γ
0
1)( dttez zt 0Re >z
Hàm Bêta
Hàm số biểu diễn dưới dạng tích phân phụ thuộc hai tham số thực 0, >qp
dxxxqpB qp 1
1
0
1 )1(),( −− −= ∫
gọi là hàm Beta. ∫
π
−− θθθ=
2
0
1212 sincos2),( dqpB qp ,
)(
)().(),(
nm
nmnmB +Γ
ΓΓ= .
115
Chương 3: Các hàm số và các phương trình đặc biệt
Hàm lỗi ∫ −π=
x t dtexerf
0
22)( . ( )xx Φ=+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ 21
2
erf .
Phương trình Bessel cấp α
Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất 0)1(1 2
2
2
2
=α−++ y
zdz
dy
zdz
yd .
Hàm Bessel loại 1:
r
r
r z
rr
zzJ
2
0 2)1(!
)1(
2
)( ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
++αΓ
−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= ∑∞
=
α
α ; ∑∞
=
α−
α− ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
α−+Γ
−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
0
2
2)1(!
)1(
2
)(
r
rr z
rr
zzJ .
Hàm Bessel loại 2: ( )
cos . ( ) ( )
sin
lim ( )
n
J z J z n
Y z
Y z n
α α
α
ββ
πα απα
α
−
→
−⎧ ≠⎪= ⎨⎪ =⎩
nÕu
nÕu
Khai triển Fourier - Bessel
Nếu biểu diễn dưới dạng thì nói rằng hàm số đó khai triển
được thành chuỗi Fourier– Bessel. Trong đó
)(xf ∑∞
=
α λ=
1
)()(
i
ii xJaxf
…… ,,,1 iλλ là nghiệm của phương trình ( ) 0=α xJ
và ∫ =λλ= αα
1
0
2 ...,2,1
().(.)('2 idxxJxfx
J
a i
i
i là các hệ số Fourier-Bessel.
CÂU HỎI ÔN TẬP VÀ BÀI TẬP
3.1 Khai triển tiệm cận là khai triển Laurent của hàm số tại ∞ .
Đúng Sai .
3.2 Các hàm tích phân mũ, tích phân cosin, tích phân sin có đạo hàm mọi cấp.
Đúng Sai .
3.3 Nếu "" +++++ nnz
a
z
a
z
aa 2
21
0 là khai triển tiệm cận của thì )(zf ∑∞
=
=
0
)(
n
n
n
z
a
zf .
Đúng Sai .
3.4 Các hàm tích phân là các hàm sơ cấp.
Đúng Sai .
3.5 Hàm Gama chỉ xác định với mọi số phức . 0Re >z
Đúng Sai .
3.6 Hàm Bêta là hàm thực hai biến xác định với mọi . ),( qp 0,0 >> qp
Đúng Sai .
3.7 Hàm Bessel là nghiệm của phương trình Bessel.
116
Chương 3: Các hàm số và các phương trình đặc biệt
Đúng Sai .
3.8 Hàm Bessel loại I và loại II luôn luôn độc lập tuyến tính. )(zJα )(zYα
Đúng Sai .
3.9 Hàm Bessel loại I và luôn phụ thuộc tuyến tính. )(zJα )(zJ α−
Đúng Sai .
3.10 Nếu hàm khai triển thành chuỗi Fourier-Bessel thì là hàm tuần hoàn. )(xf )(xf
Đúng Sai .
3.11. Áp dụng phép biến đổi Laplace suy ra các công thức khai triển sau:
∑∑ ∞
=
∞
=
+ −++γ=++
−+−γ−=
0
2
0
1
)!2(2
)1(ln)(Ci;
)!1(1
)1(ln)(Ei
n
nn
n
nn
n
x
n
xx
n
x
n
xx .
3.12. Tính
a.
( )
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛Γ
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ΓΓ
2
11
2
53
b. ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−Γ
2
1
c. ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−Γ
2
5
d. ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛Γ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−Γ
4
1
4
1
.
3.13. Sử dụng hàm Gamma tính các tích phân sau:
a. b.
0
3∫
∞ − dxex x ∫
∞ −
0
26 dxex x
3.14. Sử dụng hàm Gamma tính các tích phân sau:
a. ∫
∞ −
0
3
dyey y b. ∫
∞ −
0
4 23 dtt
3.15. Chứng minh: ∈+
−= +∫ nm
ndxxx n
n
nm
)1(
!)1()(ln 1
1
0
² 1,, −>∈ mm .
3.16. Áp dụng hàm Beta tính các tích phân sau:
a. ∫ b. −
1
0
34 )1( dxxx ∫ −
2
0
2
2 x
dxx c. ∫ −
2
0
3 38 dxxx
3.17. Áp dụng hàm Beta tính các tích phân sau:
a. ∫
π
θθθ
2
0
54 cossin d b. ∫
π
θθ
2
0
6cos d c. ∫
π
θθ
2
0
tg d
117
Chương 3: Các hàm số và các phương trình đặc biệt
3.18. Chứng minh:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−
−π
=θθ=θθ ∫∫
ππ
lÎ nÕu
ch½n nÕu
n
n
n
n
n
n
dd nn
!!
!)!1(
!!
!)!1(
2sinsin
2
0
2
0
(2k+1)!! = 1.3.5...(2k+1).
(2k)!! = 2.4.6...(2k).
3.19. Đặt ∫∫
ππ
>==
2
0
2
2
0
2 0p ,2sin J , sin xdxxdxI pp
a. Chứng minh: I = J
b. Chứng minh:
1)(2p
2
1(2
J ;
)1(2
)
2
1(
2
12
+Γ
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ +Γ
=+Γ
π+Γ
=
− p
p
p
I
p
c. Suy ra công thức nhân đôi của hàm Gamma:
)2(
2
1)(2 12 pppp Γπ=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +ΓΓ− .
3.20. Chứng minh rằng:
a. ( ) ( )ppdx
x
x p −ΓΓ=+∫
∞ −
1
10
1
, 10 << p .
b. ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −Γ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +Γ=+∫
∞
ppx
dx
p
1111
10
, . 1>p
3.21. Tính các tích phân sau
a. ∫
∞
+0 4 1
dx
x
dx b. ∫
∞
+0 6 1x
xdx c. ∫
∞
+0 4
2
1x
dxx .
3.22. Chứng minh các công thức truy toán đối với hàm Bessel
);()(2)( )1 11 zJzJz
zJ −αα+α −α= );()()( )2 1 zJzzJz zJ' α−αα α−=
);()()( )3 1 zzJzJzzJ' +ααα −α= { }
()(21)( )4 11 zJzJz J' +α−αα −=
);())(( )5 1 zJzzJzdz
d −αααα = );())(()6 1 zJzzJzdz
d +αα−αα− −=
118
Chương 3: Các hàm số và các phương trình đặc biệt
));((
)(
)1()(z ));((
)(
)(z )7 n-n- zJz
zdz
dzJzJz
zdz
dzJ n
n
n
nn
n
n αα−+αα−αα−−αα −==
∫ αα−αα =
z
z z
z
zJzdzzJz
0 0
1 )()( )8 ∫ αα−+αα− −=
z
z z
z
zJzdzzJz
0 0
1 )()( )9
{ }∫ ++= +α+αα
z
zJzJdzzJ
0
31 )()(2)( )10 "
3.23. Tính các tích phân không xác định:
a. ∫ b. − dxxJx nn )(1 ∫ + dxx
J
n
x
n
)(
1 c. ∫ dxxJx )(14
3.24. Tính theo và 1( )J x 0( )J x
a. b. 3( )J x dxxJ )(31∫ c. ∫ xdxxJ sin)(0
3.25. Chứng minh:
a. 0 2 41 ( ) 2 ( ) 2 ( )J x J x J x= + + +"
b. 1 3 5 7
1( ) ( ) ( ) ( ) sin
2
J x J x J x J x x− + − + =" .
3.26. Chứng tỏ rằng
a. 10,
)(
)(
8
1
1 1
3
0
...