babylove_olala_vip2007
New Member
Download miễn phí Ứng dụng phép biến đổi laplace trong ngôn ngữ lập trình hình thức Mathematica 5.1
MỤC LỤC
DẪN NHẬP 4
1. PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 4
1.1 ĐỊNH NGHĨA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLCE 4
1.1.1 Định nghĩa 1 4
1.1.2 Định nghĩa 2 4
1.1.3 Thídụ 4
1.2 ĐỊNH NGHĨA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC 5
1.2.1 Định nghĩa 5
1.3 MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CƠBẢN CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 5
1.3.1 Biến đổi của một tổhợp tuyến tính 5
1.3.2 Biến đổi của e-atf(t) 5
1.3.3 Biến đổi của u(t-&tau
f(t-&tau 61.3.4 Định lý kết hợp(Convolution theorem) 6
1.3.5 Biến đổi của đạo hàm 7
1.3.6 Biến đổi của tích phân 7
1.3.7 Biến đổi của tf(t) 7
1.4 PHÉPBIẾN ĐỔI LAPLACE TRÊN HÀM BẬC THANG HEAVESIDE10
1.4.1 Định nghĩa 10
1.4.1.1Địnhnghĩa 110
1.4.1.2 Định nghĩa 210
1.4.1.3 Định nghĩa 310
1.4.1.4 Thídụ 10
1.4.2 Biến đổiLaplace 11
1.4.2.1 Hàmbậc thang Heaveside11
1.4.2.2Hàm tịnh tuyến bậc thang Heaveside11
1.4.2.3 Hàmkhoảngbậcthang Heaveside11
1.4.2.4 Thídụ 11
1.4.3 Biến đổiLaplace ngược hàm Heaveside12
2. BIẾN ĐỔI LAPLACE TRONG NGÔN NGỮHÌNH THỨC MATHEMATICA 5.113
2.1 MỘT SỐHÀM CƠN BẢN TRONG NGÔNNGỮHÌNH THỨC MATHEMATICA13
2.2 BIẾN ĐỔI LAPLACE14
2.2.1 Biến đổiLaplace 14
2.2.2 Biến đổiLaplacengược14
3. ỨNG DỤNG PHÉPBIẾN ĐỔI LAPLACE15
3.1 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VIPHÂN15
3.1.1 Giải phươngtrình vi phânthường15
3.1.1.1 Phươngpháp chung15
3.1.1.2 Modulecài đặt15
3.1.1.3 Một sốthí dụ được giải bằngchươngtrình17
3.1.2 Giải phương trình vi phân có vếphải làhàm bậc thang20
3.1.2.1 Phươngpháp chung20
3.1.2.2 Một sốthí dụ21
3.2 GIẢI HỆPHƯƠNGTRÌNH VIPHÂNHỆSỐHẰNG23
3.2.1 Phươngpháp chung23
3.2.2 Modulecài đặt23
3.2.3 Một sốthí dụ được giải bằng chươngtrình28
KẾT LUẬN31
TÀI LIỆU THAM KHẢO32
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí
Tóm tắt nội dung tài liệu:
ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TRONGNGÔN NGỮ LẬP TRÌNH HÌNH THỨC
MATHEMATICA 5.1
Tác giả: Đào Anh Pha
DẪN NHẬP
PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE
♦ Phép biến đổi Laplace
♦ Phép biến đổi Laplace ngược
♦ Một số định lý cơ bản của phép biến đổi Laplace
♦ Phép biến đổi Laplace trên hàm bậc thang Heaveside
BIẾN ĐỔI LAPLACE TRONG NGÔN NGỮ HÌNH THỨC MATHEMATICA
5.1
♦ Phép biến đổi Laplace
♦ Phép biến đổi Laplace ngược
ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE
♦ Giải phương trình vi phân
♦ Giải hệ phương trình vi phân hệ số hằng
♦ Giải phương trình vi phân có vế phải là hàm bậc thang
KẾT LUẬN
[ 1 ]
MỤC LỤC
DẪN NHẬP 4
1. PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 4
1.1 ĐỊNH NGHĨA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLCE 4
1.1.1 Định nghĩa 1 4
1.1.2 Định nghĩa 2 4
1.1.3 Thí dụ 4
1.2 ĐỊNH NGHĨA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC 5
1.2.1 Định nghĩa 5
1.3 MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 5
1.3.1 Biến đổi của một tổ hợp tuyến tính 5
1.3.2 Biến đổi của e
-at
f(t) 5
1.3.3 Biến đổi của u(t-τ)f(t-τ) 6
1.3.4 Định lý kết hợp (Convolution theorem) 6
1.3.5 Biến đổi của đạo hàm 7
1.3.6 Biến đổi của tích phân 7
1.3.7 Biến đổi của tf(t) 7
1.4 PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TRÊN HÀM BẬC THANG HEAVESIDE 10
1.4.1 Định nghĩa 10
1.4.1.1Định nghĩa 1 10
1.4.1.2 Định nghĩa 2 10
1.4.1.3 Định nghĩa 3 10
1.4.1.4 Thí dụ 10
1.4.2 Biến đổi Laplace 11
1.4.2.1 Hàm bậc thang Heaveside 11
1.4.2.2Hàm tịnh tuyến bậc thang Heaveside 11
1.4.2.3 Hàm khoảng bậc thang Heaveside 11
1.4.2.4 Thí dụ 11
1.4.3 Biến đổi Laplace ngược hàm Heaveside 12
2. BIẾN ĐỔI LAPLACE TRONG NGÔN NGỮ HÌNH THỨC MATHEMATICA 5.1 13
2.1 MỘT SỐ HÀM CƠN BẢN TRONG NGÔN NGỮ HÌNH THỨC MATHEMATICA 13
2.2 BIẾN ĐỔI LAPLACE 14
2.2.1 Biến đổi Laplace 14
2.2.2 Biến đổi Laplace ngược 14
3. ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 15
3.1 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 15
3.1.1 Giải phương trình vi phân thường 15
[ 2 ]
3.1.1.1 Phương pháp chung 15
3.1.1.2 Module cài đặt 15
3.1.1.3 Một số thí dụ được giải bằng chương trình 17
3.1.2 Giải phương trình vi phân có vế phải là hàm bậc thang 20
3.1.2.1 Phương pháp chung 20
3.1.2.2 Một số thí dụ 21
3.2 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HỆ SỐ HẰNG 23
3.2.1 Phương pháp chung 23
3.2.2 Module cài đặt 23
3.2.3 Một số thí dụ được giải bằng chương trình 28
KẾT LUẬN 31
TÀI LIỆU THAM KHẢO 32
[ 3 ]
DẪN NHẬP
Ứng dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình, hệ phương vi phân là
một ứng dụng hiệu quả và được rất nhiều người sử dụng. Phương pháp này được sử
dụng nhiều trong các ngành khoa học kỹ thuật đặc biệt là lĩnh vực vật lý. Bên cạnh
việc sử dụng phương pháp này người ta sử dụng thêm các công cụ hỗ trợ cho việc
tính toán nhanh chóng và hiệu quả. Ở đây, chúng ta sử dụng ngôn ngữ lập trình hình
thức Mathematica 5.1 để cài đặt các phương pháp nhằm mô tả việc giải phương
trình và hệ phương trình vi phân. Đây là một công cụ khá mạnh giúp chúng ta thực
hiện nhanh chóng và nhẹ nhàn. Tuy nhiên, việc cài đặt các Module cũng khá phức
tạp. Sau đây, chúng ta nghiên cứu cơ sở lý thuyết và cài đặt cho phương pháp này.
1. PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE
1.1 ĐỊNH NGHĨA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLCE
1.1.1 Định nghĩa 1
Ta gọi hàm phức tùy ý của biến thực t là hàm gốc thoả mãn 3 điều kiện sau: )(tf
1) f(t) và các đạo hàm cấp cao của nó liên tục trên toàn trục t trừ những điểm
gián đoạn loại một mà số điểm hữu hạn trong mỗi khoảng hữu hạn.
2) Tăng không quá nhanh 0S00, 0, , ( ) . tM S t f t M e∃ > ≥ ∀ ≤ , S0 được gọi là mũ
tăng của hàm . )(tf
3) =0 khi t<0. )(tf
1.1.2 Định nghĩa 2
Hàm F(p) của biến phức p u iv= + xác định bởi:
(1)
0
( ) ( )ptF p e f t dt
∞ −= ∫
được gọi là hàm ảnh của . )(tf
Ký hiệu: [ ]( ) ( )L f t F p=
hay )(tf F(p) hay F(p) )(tf
1.1.3 Thí dụ
a) Tìm biến đổi Laplace của hàm nấc đơn vị
[ ]
0
0
1 , 0
( )
0 , 0
1 1( ) pt pt
t
t
t
L t e dt e
p p
η
η
∞∞ − −
≥⎧= ⎨ <⎩
= = −∫ =
b) Tìm biến đổi Laplace của ( ) atf t e=
( ) ( )
0 0
0
1 1at at pt p a t p a tL e e e dt e dt e
p a p a
∞∞ ∞− − − − −⎡ ⎤ = = = − =⎣ ⎦ − −∫ ∫
[ 4 ]
1.2 ĐỊNH NGHĨA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC
1.2.1 Định nghĩa
Phép biến đổi Laplace ngược được định nghĩa
[ ]1 1( ) ( ) ( )
2
a i pt
a i
f t L F p e F p d
iπ
+ ∞−
− ∞= = ∫ p (2)
Đây là tích phân đường, lấy dọc theo đường thẳng đứng p=a, từ đến i i− ∞ ∞
Do tính duy nhất của phép biến đổi Laplace, ta không sử dụng định nghĩa (2)
để xác định f(t) mà ta thường dùng kết quả của những cặp biến đổi để xác định f(t)
khi đã có F(p).
1.3 MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE
1.3.1 Biến đổi của một tổ hợp tuyến tính
Cho hai hàm và g(t) với các hằng số k. F(s) và G(s) lần lượt là biến đổi Laplace
của f(t) và g(t). Ta có:
)(tf
1) L[ +g(t)] = F(p) + G(p) )(tf
2) L[k ]= kF(p) )(tf
Hai tính chất trên tương đương với:
L[af(t)+bg(t)] = aF(p) + bG(p). (3)
Thí dụ: Tìm biến đổi Laplace của cosat và sinat.
Từ công thức Euler e ecos = , sin
2 2
iat iat iat iate eat at
i
− −+ −=
Ta có:
[ ] 2 2e 1 1 1cos 2 2
iat iate pL at L
p ia p ia p a
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤+= = + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + +⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦
[ ] 2 2e 1 1 1cos 2 2
iat iate aL at L
i i p ia p ia p a
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤−= = − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + +⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦
1.3.2 Biến đổi của e
-at
f(t)
( )
0 0
[ ( )] ( ) ( ) ( )at at pt a p tL e f t e f t e dt f t e dt F p a
∞ ∞− − − − += = =∫ ∫ + (4)
Khi hàm f(t) nhân với e
-at
, biến đổi Laplace tương ứng e
-at
f(t) có được bằng
cách thay F(p) bởi F(a+p).
[ 5 ]
Thí dụ: Tìm biến đổi Laplace của và cosmte a− t tsinmte a−
( )2 2cos ( )
mt p mL e at F p m
p m a
− +⎡ ⎤ = + =⎣ ⎦ + +
( )2 2sin ( )
mt aL e at F p m
p m a
−⎡ ⎤ = + =⎣ ⎦ + +
1.3.3 Biến đổi của u(t-τ)f(t-τ)
Nếu [ ( ) ( )] ( )L u t f t F p= với u(t) là bước nhảy đơn vị thì với mọi T>0 ta có:
0
[ ( ) ( )] ( ) ( ) ptL u t f t u t f t e dtτ τ τ τ∞ −− − = − −∫
Đổi biến số: x t τ= −
( )
0 0
[ ( ) ( )] ( ) ( )p x p pxL u t f t f x e dx e f x e dxτ ττ τ ∞ ∞− + − −− − = =∫ ∫
(5) [ ( ) ( )] ( )
pL u t f t e F pττ τ −− − =
Thí dụ: Tìm biến đổi Laplace của 3( ) ( 2)tf t e u t−= −
3( 2) 6 6 3( 2)( ) ( 2) ( 2)t tf t e u t e e u t− − − − − −= − = −
Vì 3 1( )
3
tL e u t
p
−⎡ ⎤ =⎣ ⎦ +
Nên
( ) 23 2
2
3 6
( 2)
3
( 2)
3
p
t
p
t
eL e u t
p
eL e u t e
p
−− −
−− −
⎡ ⎤− =⎢ ⎥⎣ ⎦ +
⎡ ⎤− =⎣ ⎦ +
1.3.4 Định lý kết hợp (Convolution theorem)
Đây là định lý dùng để tìm biến đổi ngược y(t) của tích 2 hàm F(p)và G(p)
1
0
( ) [ ( ) ( )] ( ) ( )
t
y t L G p F p g f t dτ τ τ−= −∫ (6)
Tích phân trong biểu thức được goik là kết hợp hai hàm f(t) và g(t). Ký hiệu:
0
( )* ( ) ( ) ( )
t
g t f t g f t dτ τ τ= −∫ (7)
Thí dụ: Tìm kết hợp 2 hàm e-t và e-2t.
Sử dụng (7) ta có
( )22
0
2
0
2 2
0
*
t tt t
tt
tt t
e e e e d
e e d
e e e e
ττ
τ
τ
τ
τ
− −− − −
−
t− − −
=
=
= = −
∫
∫
[ 6 ]
1.3.5 Biến đổi của đạo hàm
♦ Đạo hàm cấp 1
0
( ) ( ) ptdf t dL f t e dt
dt dt
∞ −= ∫
Lấy tích phân từng phần
Đặt:
( ) ( )
pt ptu e du pe dt
dv df t v f t
− −= ⇒ = −
= ⇒ =
00
( ) ( ) ( )pt pdf t tL e f t p f t e d
dt
∞ ∞− −= + ∫ t
Vì li nên m ( ) 0pt
t
e f t−→∞ =
( ) ( ) ( 0)df tL pF p f
dt
= − +
...